资料简介
数列单元练习
1.在等比数列 }{ na 中，若 93 a ， 17 a ，
则 5a 的值为_____________。
1.-3.【解析】q4=
1
9
,q2=
1
3
. 5a =-9× 1
3
=-3.
2．在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的个数
为 .
2.36.【解析】观察出 100 至 500 之间能被 11
整除的数为 110、121、132、…它们构成一个等差
数列，公差为 11，数 an=110+（n－1）·11=11n+99，
由 an≤500，解得 n≤36．
3．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1（n≥1），则
a1+a2+a3+a4+a5 等于 。
3．－1.【解析】由已知：an+1=an2－1=（an+1）
（an－1），
∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1．
4．{an}是等差数列，且 a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，
则 a3+a6+a9= 。
4．33.【解析】a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9
成等差数列，故 a3+a6+a9=2×39－45=33．
5 ． 正 项 等 比 数 列 {an} 中 ， S2=7 ， S6=91 ， 则
S4= 。
5．28.【解析】∵{an}为等比数列，∴S2，S4
－S2，S6－S4 也为等比数列，即 7，S4－7，91－S4
成等比数列，即（S4－7）2=7（91－S4），解得 S4=28
或－21（舍去）．
6．每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能
洗去污垢的
4
3 ，若洗 n 次后，存在的污垢在 1%以
下，则 n 的最小值为_________．
6.4.【解析】每次能洗去污垢的
4
3 ，就是存留
了
4
1 ，故洗 n 次后，还有原来的（
4
1 ）n，由题意，
有：（
4
1 ）n100 得 n 的最小值为 4．
7．设 an=－n2+10n+11，则数列{an}从首项到第几项
的和最大是第 项。
7．第 10 项或 11 项.【解析】由 an=－n2+10n+11=
－（n+1）（n－11），得 a11=0，而 a10>0，a120，q≠1，且 a2、
2
1 a3、a1
成等差数列，则
54
43
aa
aa
= 。
10．
2
15
. 【解析】依题意：a3=a1+a2，
则有 a1q2=a1+a1q，∵a1>0，∴q2=1+q q=
2
51 ．
又 ∵ an>0 ． ∴ q>0 ， ∴ q=
2
15 ，
54
43
aa
aa
=
q
1 =
2
15 ．
11．已知 an= n
n n
10
)1(9 （n∈N*），则数列{an}的
最大项为_______．
11.a8 和 a9．【解析】设{an}中第 n 项最大，则
有
1
1
nn
nn
aa
aa
即
1
1
1
1
9 ( 1) 9
10 10
9 ( 1) 9 ( 2)
10 10
n n
n n
n n
n n
n n
n n
，∴8≤n≤9。
即 a8、a9 最大．
12 ． 在 数 列 {an} 中 ，
Sn=a1+a2+…+an,a1=1,an+1= 1
3
Sn(n≥1), 则
an= 。
12. 2
1 n 1,
1 4( ) , 2.3 3
n n
，
【解析】∵an+1= Sn,
∴an= Sn-1(n≥2).
相减得,an+1-an= an,∴ (n≥2)，
∵a2= S1= ×1= ,∴当 n≥2 时，
an= ·（ ）n-2.
13．将给定的 25 个数排成如图所示的数表， 若每
行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列的
5 个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表正
中间一个数 a33=1,则表中所有数之和为__________.
13．25.提示:第一行的和为 5a13,第二行的和为 5a
23，…，第五行的和为 5a53,故表中所有数之和为
5(a13+a23+a33+a43+a53)=5×5a 33=25.
14．函数 ( )f x 由下表定义：
若 0 5a ， 1 ( )n na f a ， 0,1,2,n ，则
2007a ．
14．4.【解析】令 0n ，则 1 0( ) 2a f a ，
令 1n ，则 2 1( ) (2) 1a f a f ，
令 2n ， 则 3 2( ) (1) 4a f a f ， 令
3n ，则 4 3( ) (4) 5a f a f ，
令 4n ， 则 5 4( ) (5) 2a f a f ， 令
5n ，则 6 5( ) (2) 1a f a f ，
…，所以 2007 501 4 3 3 4a a a ．
二．解答题
15．数列 3、9、…、2187，能否成等差数列或
等比数列？若能．试求出前 7 项和．
【解】（1）若 3，9，…，2187，能成等差数列，
则 a1=3，a2=9，即 d=6．则 an=3+6（n－1），令 3+6
（n－1）=2187，解得 n=365．可知该数列可构成等
差数列，S7=7×3+
2
67 ×6=147．
（2）若 3，9，…，2187 能成等比数列，则 a1=3，
q=3，则 an=3·3n－1=3n，令 3n=2187，得 n=7∈N，
可知该数列可构成等比数列，S7=
31
)31(3 7
=3279．
16 ． 在 数 列 { }na 中 ， 14n
na n ，
*n N ．
（1）求数列{ }na 的前 n 项和 nS ；（2）证明
不等式 1 4n nS S ，对任意 *n N 皆成立。
16 ．（ 1 ） 数 列 { }na 的 通 项 公 式 为
14n
na n
x 2 5 3 1 4
( )f x 1 2 3 4 5
所 以 数 列 { }na 的 前 n 项 和
1 (1 4 ) ( 1) 4 1 ( 1)
1 4 2 3 2
n n
n
n n n nS
（ 2 ） 任 意 *n N ，
1
1
4 1 ( 1)( 2) 4 1 ( 1)4 4( )3 2 3 2
n n
n n
n n n nS S
21 1(3 4) (3 4)( 1)2 2n n n n
当 1n 时 ，
1 2 1 2 1 2 1(1 1) (4 2) 8,4 4(1 1) 8, 4nS S a a S S S
；
当 2n 且 *n N 时 ，
3 4 0, 1 0n n ， ∴
1(3 4)( 1) 02 n n ，即 1 4n nS S
所 以 不 等 式 1 4n nS S ， 对 任 意
*n N 皆成立。
17．已知等差数列{an}中，a2=8，前 10 项和
S10=185．
（1）求通项 an；
（2）若从数列{an}中依次取第 2 项、第 4 项、
第 8 项…第2n 项……按原来的顺序组成一个新的数
列{bn}，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能
力．
17. 【 解 】（ 1 ） 设 {an} 公 差 为 d ， 有
1852
91010
8
1
1
da
da
解得 a1=5，d=3
∴an=a1+（n－1）d=3n+2
（2）∵bn=a n2 =3×2n+2
∴Tn=b1+b2+…+bn=（3×21+2）+（3×22+2）+…
+（3×2n+2）=3（21+22+…+2n）+2n=6×2n+2n－6．
18．数列{an}中，a1＝8，a4＝2 且满足 an＋2＝2an
＋1－an n∈N
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求 sn;
（3）设 bn＝ 1
n(12－an)
( n∈N)，Tn＝b1＋b2
＋…＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数 m，使得对
任意 n∈N，均有 Tn＞m
32
成立？若存在，求出 m
的值；若不存在，请说明理由。
18.解：（1）由 an＋2＝2an＋1－an
an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d
＝a4－a1
4－1
＝－2
－∴an＝10－2n
（2）由 an＝10－2n≥0 得 n≤5
∴当 n≤5 时，Sn＝－n2＋9n
当 n>5 时，Sn＝n2－9n＋40
故 Sn＝
－n2＋9n 1≤n≤5
n2－9n＋40 n＞5 （n∈N）
（ 3 ） bn ＝ 1
n(12－an)
＝ 1
n(2n＋2)
＝
1
2
(1
n
－ 1
n＋1
)
∴Tn＝ b1＋b2＋…＋bn
＝1
2 [(1－1
2 )＋(1
2
－1
3 )＋(1
3
－1
4 )＋……＋
( 1
n－1
－1
n
)]＝1
2
(1－ 1
n＋1
)＝ n
2(n＋1)
＞n－1
2n
＞Tn－1＞Tn－2＞……＞T1.
∴要使 Tn>m
32
总成立，需m
32
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