资料简介
关于研讨与练习
一 本文分为六个部分，每一部分的内容各有侧重。通读全文，找出其中的
论点论据，列出全文的结构提纲。
设题意图：通过对课文各部分内容的归纳整理，理清文章思路，把握作者的
主要观点。
参考答案：
部分 论点 论据
第 1 部分 人和某些动物具有数觉
1．鸟类的例子；
2．蜂类的例子；
3．乌鸦的故事。
第 2 部分 人和动物的数觉都不发达
1．动物中只有几种昆虫、几种鸟类
有数觉；
2．排除辅助手段，人类的数觉也不
发达，这可以从人类语言方面得到间
接的证明。
第 3 部分 早期数的概念极端具体
1．原始语言的例子；
2．英文的例子；
3．罗素的话。
第 4 部分 比对匹配产生模范集合 1．匹配：只能比对两个集合；
2．模范集合：可以比对多个集合。
第 5 部分 基数与序数的区别
1．基数：来自“对应原则”，不能创
造计数方法；
2．序数：在基数中加入“序列”的
观念，是由基数转化而来的。
第 6 部分
人类借助十指完成了由基
数到序数的转变
1．手指计数的方便；
2．来自人类语言方面的支持。
二 作者在论述过程中，列举了哪些人类语言现象来说明问题？请找出这些
用例，说说它们与作者所论述的数学问题有什么联系。
设题意图：引导学生注意本文的论证方法。
参考答案：
一是列举原始语言的例子，证明人类早期对数字的感觉。如“南非的布须曼
（Bushmen）族，除了一、二和多之外，再没有别的数字了，而这三个字又是那
么语调含糊”，用以说明人类的数觉能力十分有限；如对不列颠哥伦比亚的辛姆
珊（Thimshian）族语言中七种不同数字的分析，探讨了人类有关数字的概念由
多元具体到一元抽象的转化过程。二是列举现代语言的例子，寻找人类原始时代
关于数的“印迹”。如“在英文中，对于某些特种集合，有丰富的本国语言的表
现方法”，然而表示“集合”“集”的单词（Collection、Aggregate）却是外来
语，说明具象的集合数量词早于抽象的集合用语。如从英文 tally（比对）一词
来源于拉丁文的 talea（刻），calculate（计算）一词来源于拉丁文的 calculus
（石卵），说明即使是欧洲的“文明人”，也可能经历了在树上刻痕迹或用小石卵
计数的“蛮荒”阶段。
三 作者对人类的“计数”能力有哪些评价？课文最后一段高度赞颂了人类
手指对计数及“数的发展”的伟大贡献，试结合作者的论述，谈谈自己的认识。
设题意图：引导学生抓住作者论述的重点问题，作深入的研讨。
参考答案：
作者对人类的“计数”能力给予了高度的评价，这些评价是贯穿始终的。如
第一部分中说“计数是一种人类独具的特性”，第三部分中说“正是计数，才使
具体的、不同质的表达多寡的概念结合为统一的抽象的数概念……是数学发展的
前提”。作者认为，计数是人类区别于动物的特性之一，也是数学发展的基础。
作者对人类“计数”能力的评价，有时还体现在具体论述的字里行间，如第五部
分，谈到由“基数转到了序数”，就“不用再找一个模范集合麻烦地来作一一匹
配了——我们只消将它加以计数就成了”，对计数的赞美溢于言表。课文最后一
段，赞美人类手指“教会人类计数”，也表现出作者对“计数”的伟大意义的肯
定。
“谈谈自己的认识”，要注意两个方面：一、从手作为劳动工具方面来谈，
正是生产生活的需要才促使人类有了“计数”的本领；二、从“计数”的数学意
义方面来谈，例如，计数是如何“把数的范围无限地扩大开来”，如何使数学发
展成为一种科学的语言，等等。
四 你还记得小时候学计数的经历吗？那时候你对“数”有哪些模糊的想
法？学习本文后，又有哪些明晰的认识？参考下面的一些论述，写一篇几百字的
短文，谈谈你的感想。
1．就连一加上一，我也不敢说那么一加，是被加的一变成二，还是被加的
一和加上的一变成二。我想不通，怎么把这个一与那个一分开了，哪个一就都是
一，不是二；把它们放在一起，这一放就是它们变成二的原因。
——［古希腊］苏格拉底
2．人是万物的尺度，是存在者存在的尺度，也是不存在者不存在的尺度。
——［古希腊］普罗泰戈拉
3．在漫长的时间中，一堆堆的鱼必须互相比出一个多少，一段一段的日子
也要作出一个比较。但首先注意到 7 条鱼和 7 天之间的共同点的人必然使思想史
进了一大步。他是第一个具有纯数学观念的人。
——［英］怀特海《科学与近代世界》
4．德国的著名数学家希尔伯特曾经用一个有趣的比喻来阐明有穷集和无穷
集的不同：人间的旅店，无论多么大，无论有多少房间，一旦客满，再来的客只
有改投另一家住宿。现在试想像一下，有一家拥有无穷多房间的旅店。房间的号
码用尽了所有的自然数：1 号，2 号，3 号，……至于无穷。现在客满了，又来了
一位旅客，怎么办？服务员说：不要紧。1 号房间的客人移到 2 号，2 号客人移
到 3 号，于是，1 号房空出来了。原来的客人仍然各得其所。更严重的事态出现
了：来了无穷多的一行旅客！服务员却仍然指挥若定，妥善安排：老住户都安排
到双号房间，1 号到 2 号，2 号到 4 号，3 号到 6 号……所有的单号房都空出来了。
新来的客人尽管和自然数一样多，仍能住得下。无穷个房间和有穷个房间就是这
样的不同。可以说，无穷集就是那种可以和自己的某个真子集建立一一对应的集
合。
——张景中、任宏硕《漫话数学》（中国少年儿童出版社 2003 年版）
设题意图：引导学生结合自己的人生经验，结合古今中外哲人学者的有关论
述，谈谈自己对数学文化的认识。
参考答案：略。
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