天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 九年级下册 / 第26章 二次函数 / 华师版九年级数学下册第26章二次函数教学课件
资料简介
26.1
二次函数
第
26
章 二次函数
九年级数学
·
华师
学习目标
1.
理解掌握二次函数的概念和一般形式
.
（重点）
2.
会利用二次函数的概念解决问题
.
3.
会列二次函数表达式解决实际问题
.
（难点）
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线
.
这些曲线能否用函数关系式表示？
导入新课
情境引入
1.
什么叫函数
?
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量
x
与
y
，并且对于
x
的每一个确定的值，
y
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
x
是自变量，
y
是
x
的函数
.
3
.
一元二次方程的一般形式是什么？
一般地，形如
y
=
kx
+
b
（
k,b
是常数，
k
≠0
）的函数叫做一次函数
.
当
b
=0
时，一次函数
y
=
kx
就叫做正比例函数
.
2
.
什么是一次函数？正比例函数？
ax
2
+
bx
+
c
=0 (
a
≠0
)
问题
1
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为
x
，表面积为
y
，则
y
关于
x
的关系式为
.
y
=6
x
2
此式表示了正方体表面积
y
与正方体棱长
x
之间的关系，对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的一个对应值，即
y
是
x
的函数
.
讲授新课
二次函数的定义
一
探究归纳
问题
2
用总长为
20m
的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃
.
怎样围才能使花圃的面积最大？
如图，设围成的矩形花圃为
ABCD
，靠墙的
一边为
AD
，垂直于墙面的两边分别为
AB
和
CD
.
设
AB
长为
x m
(0
＜
x
＜
10),
先取
x
的一些值，进而
可以求出
BC
边的长，从而可得矩形的面积
y
.
将计算结果写在下表的空格中：
A D
B C
AB
长
(
x
)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC
长
12
面积
(
y
)
48
单位：
m
18
16
14
10
8
6
4
2
18
32
42
50
48
42
32
18
我们发现
,
当
AB
的长
(
x
)
确定后
,
矩形的面积
(
y
)
也就随之确定
,
即
y
是
x
的函数
,
试写出这个函数的关系式
.
（
0
＜
x
＜
10
）
即
（
0
＜
x
＜
10
）
问题
3
某商店将每件进价为
8
元的某种商品按每件
10
元出售
,
一天可售出
100
件
.
该店想通过降低售价
,
增加销售量的办法来提高利润
.
经过市场调查
,
发现这种商品单价每降低
0.1
元
,
其销售量可增加约
10
元
.
将这种商品的售价降低多少时
,
能使销售利润最大
?
分析：销售利润
=
（售价
-
进价）×销售量
.
根据题意，求出这个函数关系式
.
想一想，为什么要限定
？
问题
1-3
中函数关系式有什么共同点?
函数都是用
自变量的二次整式表示
的
y
=6
x
2
想一想
（
0
＜
x
＜
10
）
二次函数的定义：
形如
y
=
ax
²+
bx
+
c
(
a
,
b
,
c
是常数,
a
≠ 0
)的函数叫做
二次函数
.
温馨提示：
（1）
等号左边是变量
y
，右边是关于自变量
x
的整式；
（2）
a
,
b
,
c
为常数，且
a
≠ 0;
（3）
等式的右边最高次数为
2
，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
归纳总结
例
1
下列函数中哪些是二次函数？为什么？（
x
是自变量）
①
y
=
ax
2
+
bx
+
c
②
s
=3-2
t
²
③
y
=
x
2
④
⑤
y
=
x
²+
x
³+25
⑥
y
=(
x
+3)²-
x
²
不一定是，缺少
a
≠0
的条件.
不是，右边是分式.
不是，
x
的最高次数是
3.
y
=6
x
+9
典例精析
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)
外，
还有其特殊形式如
y
=
ax
2
,
y
=
ax
2
+
bx
,
y
=
ax
2
+
c
等.
方法归纳
想一想
:
二次函数的一般式
y
=
ax
２
＋
bx
＋
c
（
a
≠
0）
与一元二次方程
ax
２
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠
0）
有什么联系和区别？
联系
：
(1)
等式一边都是
ax
2
＋
bx
＋
c
且
a
≠
0；
(2)
方程
ax
2
＋
bx
＋
c
=0
可以看成是函数
y
=
ax
2
＋
bx
＋
c
中
y
=0
时得到的.
区别
:
前者是函数
.
后者是方程
.
等式另一边前者是
y
,
后者是
0.
二次函数定义的应用
二
例
2
（1）
m
取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）
m
取什么值时，此函数是二次函数？
解：
（1）由题
可知,
解得
（2）由题
可知,
解得
m
=3
.
第
（2）
问易忽略二次项系数
a
≠0
这一限制条件，从而得出
m
=3
或
-3
的错误答案，需要引起同学们的重视
.
注意
1.
已知
:
，
m
取什么值时，
y
是
x
的二次函数？
解：当
=2
且
k+2≠0
，即
k=-2
时
, y
是
x
的二次函数
.
变式训练
解：
由题意得：
∴m≠±3
解：
由题意得：
【解题小结】
本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例
3
：
某工厂生产的某种产品按质量分为
10
个档次，第
1
档次
(
最低档次
)
的产品一天能生产
95
件，每件利润
6
元．每提高一个档次，每件利润增加
2
元，但一天产量减少
5
件．
(1)
若生产第
x
档次的产品一天的总利润为
y
元
(
其中
x
为正整数，且
1≤
x
≤10)
，求出
y
关于
x
的函数关系式；
解：
∵
第一档次的产品一天能生产
95
件，每件利润
6
元，每提高一个档次，每件利润加
2
元，但一天产量减少
5
件，
∴
第
x
档次，提高了
(
x
－
1)
档，利润增加了
2(
x
－
1)
元．
∴
y
＝
[6
＋
2(
x
－
1)][95
－
5(
x
－
1)]
，
即
y
＝－
10
x
2
＋
180
x
＋
400(
其中
x
是正整数，且
1≤
x
≤10)
；
(2)
若生产第
x
档次的产品一天的总利润为
1120
元，求该产品的质量档次．
解：由题意可得 －
10
x
2
＋
180
x
＋
400
＝
1120
，
整理得
x
2
－
18
x
＋
72
＝
0
，
解得
x
1
＝
6
，
x
2
＝
12(
舍去
)
．
所以，该产品的质量档次为第
6
档．
【方法总结】
解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．
思考：
1.
已知二次函数
y
＝－
10
x
2
＋
180
x
＋
400
,
自变量
x
的取值范围是什么？
2.
在例
3
中，所得出
y
关于
x
的函数关系式
y
＝－
10
x
2
＋
180
x
＋
400
，其自变量
x
的取值范围与
1
中相同吗？
【总结】
二次函数自变量的取值范围一般是
全体实数
，但是在实际问题中，自变量的取值范围应
使实际问题有意义
.
二次函数的值
三
例
4
一个二次函数
.
（
1
）求
k
的值
.
（
2
）当
x
=
0.5
时，
y
的值是多少？
解：
（
1
）由题意，得
解得
（
2
）当
k
=
2
时，
.
将
x
=
0.5
代入函数关系式中，
.
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为
0
及自变量指数为
2
这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将
x
的值代入其中，求出
y
的值
.
归纳总结
当堂练习
2.
函数
y
=(
m
-
n
)
x
2
+
mx
+
n
是二次函数的条件是
( )
A
.
m
,
n
是常数
,
且
m
≠0
B
.
m
,
n
是常数
,
且
n
≠0
C
.
m
,
n
是常数
,
且
m
≠
n
D
.
m
,
n
为任何实数
C
1
.
把
y=(2-3
x
)(6+
x
)
变成一般式，二次项为_____,一次项
系数为______，常数项为
.
3
．
下列函数是二次函数的是
( )
A
．
y
＝
2
x
＋
1 B
．
C
．
y
＝
3
x
2
＋
1 D
．
C
-3
x
2
-16
12
4.
已知函数
y=3x
2m-1
－
5
① 当
m=
＿＿时，
y
是关于
x
的一次函数；
② 当
m=
＿＿时，
y
是关于
x
的反比例函数；
③ 当
m=
＿＿时，
y
是关于
x
的二次函数
.
1
0
5.
若函数 是二次函数，求：
（
1
）求
a
的值
.
(2)
求函数关系式
.
（
3
）当
x
=
-
2
时，
y
的值是多少？
解：
（
1
）由题意，得
解得
（
2
）当
a
=-
1
时，函数关系式为
.
（
3
）将
x
=
-
2
代入函数关系式中，有
6.
（
1
）
n
个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数
m
与球队数
n
有什么关系？
（
2
）假
设人民币一年定期储蓄的年利率是
x,
一年到期后
,
银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存
.
如果存款是
10
（万元）
,
那么请你写出两年后的本息和
y(
万元
)
的表达式
(
不考虑利息税
).
y=10(x+1)²=10x²+20x+10.
7.
矩形的周长为
16cm
,
它的一边长为
x
（
cm),
面
积为
y
（
cm
2
).
求
（
1
）
y
与
x
之间的函数解析式及自变量
x
的取值范围；
（
2
）
当
x
=3
时矩形的面积
.
解
：(1)
y
＝(8－
x
)
x
＝－
x
2
＋8
x
(0＜
x
＜8)；
(2)
当
x
＝3
时
，
y
＝－3
2
＋8×3＝15 cm
2
.
课堂小结
二次函数
定 义
y
=
ax
2
+
bx
+c(
a
≠0
，
a
,
b
,
c
是常数
）
一般形式
右边是整式；
自变量的指数是
2
；
二次项系数
a
≠0.
特殊形式
y
=
ax
2
；
y
=
ax
2
+
bx
；
y
=
ax
2
+
c
(
a
≠0
，
a
,
b
,
c
是常数）
.
第
26
章 二次函数
1.
二次函数
y
=
ax
2
的图象与性质
26.2
二次函数的图象与性质
九年级数学
·
华师
学习目标
1.
正确理解抛物线的有关概念
.
（重点）
2.
会用描点法画出二次函数
y=ax
²
的图象，概括出图象的特点
.
（难点）
3.
掌握形如
y=ax
²
的二次函数图象的性质，并会应用
.
（难点）
导入新课
情境引入
讲授新课
二次函数
y
=
ax
2
的图象
一
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
=
x
2
…
…
例
1
画出二次函数
y
=
x
2
的图象
.
9
4
1
0
1
9
4
典例精析
1.
列表：
在
y
=
x
2
中自变量
x
可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
2.
描点：
根据表中
x
,
y
的数值在坐标平面中描点
（
x,y
）
3.
连线：
如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到
y
=
x
2
的图象．
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数
y
=
x
2
的图象如下：
x
y
二次函数
y
=
x
2
的图象形如物体抛射时所经过的路线
,
我们把它叫做
抛物线
.
这条抛物线关于
y
轴对称
,
y
轴就是它的对称轴
.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的
顶点
.
练一练：
画出函数
y
=-
x
2
的图象
.
y
2
4
-2
-4
0
-3
-6
-9
x
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
=-
x
2
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数
y=x
2
的图象有哪些性质，并与同伴交流
.
x
o
y
=
x
2
议一议
1
.y
＝
x
2
是一条抛物线
;
2.
图象开口向上
;
3.
图象关于
y
轴对称
;
4.
顶
点（
0
，
0
）
;
5.
图象
有最低点．
y
说说二次函数
y
=-
x
2
的图象有哪些性质
,
与同伴交流
.
o
x
y
y
=-
x
2
1
.y
＝
-
x
2
是一条抛物线
;
2.
图象开口向下
;
3.
图象关于
y
轴对称
;
4.
顶
点（
0
，
0
）
;
5.
图象
有最高点．
1.
顶点都在
原点
;
3.
当
a
>0
时，开口向
上
；
当
a
2
0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是
y
轴，顶点坐标
（
0
，
-3
）
.
能力提升
6.
对于二次函数
y
=(
m
+1)
x
m
2
-
m
+3,
当
x
>0
时
y
随
x
的增大而增大，则
m
=____.
7.
已知二次函数
y
=(
a
-2)
x
2
+
a
2
-2
的最高点为（
0
，
2
）则
a
=____.
8.
抛物线
y
=
ax
2
+
c
与
x
轴交于
A
（
-2,0
）
﹑
B
两点，与
y
轴交于点
C
(0
，
-4),
则三角形
ABC
的面积是
_______.
9.
二次函数
y=ax
2
+c
与一次函数
y
=
ax
+
c
的图象在同一坐标系中的是
( )
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
A
B
C
D
2
-2
8
B
课堂小结
二次函数
y
=
ax
2
+
k
（
a
≠0)
的图象和性质
图象
性质
与
y
=
ax
2
的关系
开口方向由
a
的符号决定；
k
决定顶点位置；
对称轴是
y
轴
.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定
.
平移规律：
k
正向上；
k
负向下
.
2.
二次函数
y
=
ax
2
+
bx+c
的图象与性质
第
2
课时 二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2
的图象与性质
26.2
二次函数的图象与性质
第
26
章 二次函数
九年级数学
·
华师
情境引入
学习目标
1.
会画二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2
的图象
.
（重点）
2.
掌握二次函数
y
=
a
(
x
-
h
)
2
的性质
.(
难点）
3.
比较函数
y
=
ax
2
与
y
=
a
(
x
-
h
)
2
的联系
.
导入新课
复习引入
a
,c
的符号
a>0,
c>
0
a>0,c< 0 a
0
a 0
时，向上平移
c
个单位长度得到
.
当
c
< 0 时，向下平移 - c 个单位长度得到 . 问题 3 函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？ 答：应该可以 . 讲授新课 二次函数 y = a （ x - h ） 2 的图象和性质 一 互动探究 引例： 在如图所示的坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 解：先列表： x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向上 y 轴 x =2 (0,0) (2,0) 根据所画图象，填写下表： 想一想： 通过上述例子，函数 y = a ( x-h ) 2 的性质是什么？ 试一试： 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· － 2 － 4.5 － 2 0 0 － 2 － 2 － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 － 4.5 0 x y － 8 x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 x =- 1 ( - 1 , 0 ) 直线 x = 0 直线 x = 1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1 , 0) 二次函数 y = a ( x-h ) 2 （ a ≠ 0 ）的性质 y = a ( x-h ) 2 a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 x=h 直线 x=h 顶点坐标 （ h , 0 ） （ h , 0 ） 最值 当 x = h 时， y 最小值 = 0 当 x = h 时， y 最大值 = 0 增减性 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 知识要点 若抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的图象上的三个点， A ( － 3 ， y 1 ) ， B ( － 1 ， y 2 ) ， C (0 ， y 3 ) ，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 ________________ ． 解析： ∵ 抛物线 y ＝ 3( x ＋ ) 2 的对称轴为 x ＝－ ， a ＝ 3 ＞ 0 ， ∴ x ＜－ 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞－ 时， y 随 x 的增大而增大． ∵ 点 A 的坐标为 ( － 3 ， y 1 ) ， ∴ 点 A 在抛物线上的对称点 A ′ 的坐标为 ( ， y 1 ) ． ∵ － 1 ＜ 0 ＜ ， ∴ y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 故答案为 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 . 练一练 y 2 ＜ y 3 ＜ y 1 向右平移 1 个单位 二次函数 y = ax 2 与 y = a ( x - h ) 2 的关系 二 想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ x y O － 2 2 － 2 － 4 － 6 4 － 4 向左平移 1 个单位 知识要点 二次函数 y = a （ x - h ) 2 的图象 与 y = ax 2 的图象的关系 可以看作互相平移得到 . 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变 . y = a ( x - h ) 2 当向 左 平移 ︱ h ︱ 时 y = a ( x + h ) 2 当向 右 平移 ︱ h ︱ 时 y = ax 2 例 1. 抛物线y＝ ax 2 向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求 a 的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数 y ＝ ax 2 的图象向右平移 3 个单位后的二次函数关系式可表示为 y ＝ a ( x － 3) 2 ， 把 x ＝－ 1 ， y ＝ 4 代入，得 4 ＝ a ( － 1 － 3) 2 ， ， ∴ 平移后二次函数关系式为 y ＝ ( x － 3) 2 . 方法总结： 根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后， a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 将二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象平移后，可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象，平移的方法是 ( ) A ．向上平移 1 个单位 B ．向下平移 1 个单位 C ．向左平移 1 个单位 D ．向右平移 1 个单位 解析：抛物线 y ＝－ 2 x 2 的顶点坐标是 (0 ， 0) ，抛物线 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的顶点坐标是 ( － 1 ， 0) ．则由二次函数 y ＝－ 2 x 2 的图象向左平移 1 个单位即可得到二次函数 y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 的图象．故选 C. 练一练 C 1. 把抛物线 y =- x 2 沿着 x 轴方向平移 3 个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 . 2. 二次函数 y =2( x - ) 2 图象的对称轴是直线 __ __ ，顶点是 ________. 3 . 若 （ - ， y 1 ）（ - ， y 2 ）（ ， y 3 ）为二次函数 y =( x -2) 2 图象上的三点，则 y 1 ， y 2 ， y 3 的大小关系为 _______________. 当堂练习 y =-( x +3) 2 或 y =-( x -3) 2 y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 4. 指出下列函数图象的开口方向 , 对称轴和顶点坐标 . 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 直线 x = 3 ( 3 , 0 ) 直线 x = 2 直线 x = 1 向下 向上 (2 , 0 ) ( 1 , 0) 5. 在同一坐标系中，画出函数 y ＝ 2 x 2 与 y ＝ 2( x -2) 2 的图象，分别指出两个图象之间的相互关系． 解：图象如图 . 函数 y =2( x -2) 2 的图象由函数 y =2 x 2 的图象向右平移 2 个单位得到 . y O x y = 2 x 2 2 复习 y = ax 2 + k 探索 y = a ( x-h ) 2 的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 开口方向 顶点坐标 对称轴 平移关系 直线 x = h （ h ,0 ） a >0,
开口向上
a
0
,
开口向上；当
a
0
a
h
时，
y
随着
x
的增大而减小
.
x
=
h
时
,
y
最小
=
k
x
=
h
时
,
y
最大
=
k
抛物线
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
可以看作是由抛物线
y
=
ax
2
经过平移得到的
.
顶点坐标
对称轴
最值
y
=-2
x
2
y
=-2
x
2
-5
y
=-2(
x
+2)
2
y
=-2(
x
+2)
2
-4
y
=(
x
-4)
2
+3
y
=-
x
2
+
2
x
y
=3
x
2
+
x
-6
(0,0)
y
轴
0
(0,-5)
y
轴
-5
(-2,0)
直线
x
=-2
0
(-2,-4)
直线
x
=-2
-4
(4,3)
直线
x
=4
3
?
?
?
?
?
?
讲授新课
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图象和性质
一
探究归纳
我们
已经
知道
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的图象和性质，能否利用这些知识来讨论
的图象和性质？
问题
1
怎样将 化成
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的形式？
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“
提”：提出二次项系数；
(
2
)
“
配”：括号内配成完全平方；
(
3
)“化”：化成顶点式.
提示
:
配方后的表达式通常称为
配方式
或
顶点式
.
问题
2
你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线
x
=6
,
顶点坐标是
（
6
，
3
）
.
问题
3
二次函数
可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法
1
：
先向上平移
3
个单位，再向右平移
6
个单位得到的；
平移方法
2
：
先向右平移
6
个单位，再向上平移
3
个单位得到的
.
问题
4
如何用描点法画二次函数
的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解
:
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象如右图
.
O
问题
5
结合
二次函数
的图象，说出其性质
.
5
10
x
y
5
10
x
=6
当
x
6
时，
y
随
x
的增大而增大
.
O
例
1
画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质
.
x
···
-2
-1
0
1
2
3
4
···
y
···
···
-
6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解
:
函数 通过配方可得 ，
先列表：
典例精析
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图
.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当
x
＜
1
时，函数值
y
随
x
的增大而增大；
当
x
＞
1
时，函数值
y
随
x
的增大而减小；
当
x
=1
时，函数取得最大值，最大值
y
=-2.
求二次函数
y
=2
x
2
-8
x
+7
图象的对称轴和顶点坐标
.
因此，二次函数
y
=2
x
2
-8
x
+7
图象的对称轴是直线
x=
2
，
顶点坐标为
(2,-1).
解：
练一练
将一般式
y
=
ax
2
+
bx
+
c
化成顶点式
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
二
我们如何用配方法将一般式
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0)
化成顶点式
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
？
y
=
ax
²
+
bx
+
c
归纳总结
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图象和性质
1.
一般地，
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的
可以通过配方化成
y
=
a
(
x
-
h
)
2
+
k
的形式，即
因此，抛物线
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图象和性质
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果
a
>0,
当
x
< 时， y 随 x 的增大而减小；当 x >
时，
y
随
x
的增大而增大
.
如果
a
时，
y
随
x
的增大而减小
.
例
2
已知二次函数
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
，当
x
＞1
时，
y
的值随
x
值的增大而减小，则实数
b
的取值范围是（ ）
A
．
b
≥
－
1 B
．
b
≤
－
1
C
．
b
≥1
D
．
b
≤1
解析：
∵
二次项系数为
－1
＜
0
，∴
抛物线开口向下，在对称轴右侧，
y
的值随
x
值的增大而减小，由题设可知，当
x
＞1
时，
y
的值随
x
值的增大而减小，
∴
抛物线
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
的对称轴应在直线
x
=1
的左侧而抛物线
y
=
－
x
2
＋2
bx
＋
c
的对称轴 ，即
b
≤1
，故选择
D
.
D
填一填
顶点坐标
对称轴
最值
y
=-
x
2
+
2
x
y
=-2
x
2
-
1
y
=
9
x
2
+
6
x
-5
(
1
,
3
)
x
=1
最大值
1
(0,-
1
)
y
轴
最大值
-1
最小值
-6
(
,
-6
)
直线
x
=
二次函数字母系数与图象的关系
三
合作探究
问题
1
一次函数
y
=
kx
+
b
的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y
=
k
1
x
+
b
1
x
y
O
y
=
k
2
x
+
b
2
y
=
k
3
x
+
b
3
k
1
___ 0
b
1
___ 0
k
2
___ 0
b
2
___ 0
＞
＞
＜
＜
k
3
___ 0
b
3
___ 0
＜
＞
x
y
O
问题
2
二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a
1
___ 0
b
1
___ 0
c
1
___ 0
a
2
___ 0
b
2
___ 0
c
2
___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，
a
＞
0
对称轴在
y
轴左侧，
x
＜
0
对称轴在
y
轴右侧，
x
＞
0
x
=0
时
，
y
=
c
.
x
y
O
a
3
___ 0
b
3
___ 0
c
3
___ 0
a
4
___ 0
b
4
___ 0
c
4
___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，
a
＜
0
对称轴是
y
轴，
x=
0
对称轴在
y
轴右侧，
x
＞
0
x
=0
时
，
y
=
c
.
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图象与
a
、
b
、
c
的关系
字母符号
图象的特征
a
＞
0
开口
_____________________
a
＜
0
开口
_____________________
b=
0
对称轴为
_____
轴
a
、
b
同号
对称轴在
y
轴的
____
侧
a
、
b
异号
对称轴在
y
轴的
____
侧
c=
0
经过原点
c
＞
0
与
y
轴交于
_____
半轴
c
＜
0
与
y
轴交于
_____
半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
知识要点
例
3
已知二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象如图所示，下列结论：
①
abc
＞
0
；
②2
a
－
b
＜
0
；
③4
a
－
2
b
＋
c
＜
0
；
④
(
a
＋
c
)
2
＜
b
2
.
其中正确的个数是
(
)
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
D
由图象上横坐标为
x
＝－
2
的点在第三象限可得
4
a
－
2
b
＋
c
＜
0
，故
③
正确；
由图象上
x
＝
1
的点在第四象限得
a
＋
b
＋
c
＜
0
，由图象上
x
＝－
1
的点在第二象限得出
a
－
b
＋
c
＞
0
，则
(
a
＋
b
＋
c
)(
a
－
b
＋
c
)
＜
0
，即
(
a
＋
c
)
2
－
b
2
＜
0
，可得
(
a
＋
c
)
2
＜
b
2
，故
④
正确．
【解析】
由图象开口向下可得
a
＜
0
，由对称轴在
y
轴左侧可得
b
＜
0
，由图象与
y
轴交于正半轴可得
c
＞
0
，则
abc
＞
0
，故
①
正确；
由对称轴
x
>
－
1
可得
2
a
－
b
＜
0
，故
②
正确；
练一练
二次函数
的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
解析：由二次函数的图象得知：
a
＜
0
，
b
＞
0
.
故反比例函数的图象在二、四象限，正比例函数的图象经过一、三象限
.
即正确答案是
C
.
C
1.
已知二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的
x
、
y
的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
A
.y
轴
B.
直线
x
=
C.
直线
x
=2 D.
直线
x
=
则该二次函数图象的对称轴为
( )
D
当堂练习
O
y
x
–1
–2
3
2.
已知二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠
0
)
的图象如图所示，则下列结论：
（
1
）
a
、
b
同号；
（
2
）
当
x
=–1
和
x
=3
时，函数值相等；
（
3
）
4
a
+
b
=0
；
（
4
）
当
y
=–2
时，
x
的值只能取
0
；
其中正确的是
.
直线
x
=1
（
2
）
3.
如图是二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a≠
0)
图象的一部分，
x
=-1
是对称轴，有下列判断：
①
b
-2
a
=0；②4
a
-2
b
+
c
y
2
.其中正确的是（ ）
A
．①②③
B
．①③④
C
．①②④
D
．②③④
x
y
O
2
x
=-1
B
4.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线
x
=3
直线
x
=8
直线
x
=1.25
直线
x
= 0.5
课堂小结
顶点：
对称轴：
y
=
ax
2
+
bx
+
c
（
a
≠0)
(
一般式
)
配方法
公式
法
(
顶点式
)
26.2
二次函数的图象与性质
第
5
课时 图形面积的最大值
2.
二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的图象与性质
第
26
章 二次函数
九年级数学
·
华师
学习目标
1.
分析实际问题中变量之间的二次函数关系
.
（难点）
2.
能应用二次函数的性质求出图形面积的最大值
.
（重点）
导入新课
复习引入
y
=
ax
2
+
bx
+
c
a
＞
0
a
＜
0
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
增减性
向上
向下
当
x
位于对称轴左侧
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
位于对称轴右侧
时，
y
随
x
的增大而增大
.
当
x
位于对称轴右侧
时，
y
随
x
的增大而减小；
x
位于对称轴左侧
时，
y
随
x
的增大而增大
.
直线
直线
做一做
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值
.
（
1
）
y
=
x
2
-4
x
-5;
(
配方法
)
(2)
y
=-
x
2
-3
x
+4.
(
公式法
)
解：（
1
）开口方向：向上；对称轴：
x
=2
；
顶点坐标：（
2
，
-9
）；最小值：
-9
；
（2）开口方向：向下；对称轴：
x
=
；
顶点坐标：（
，
）；最大值：
.
求二次函数的最大（或最小）值
一
讲授新课
合作探究
问题
1
二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由
a
及自变量的取值范围决定
.
问题
2
当自变量
x
为全体实数时，二次函数
的最值是多少？
当
a
＞
0
时，有 ，此时
.
当
a
＜
0
时，有 ，此时
.
问题
3
当自变量
x
有限制时，二次函数 的最值如何确定？
例
1
求下列函数的最大值与最小值
x
0
y
解：
-
3
1
（
1
）
当 时，
当 时，
典例精析
解：
0
x
y
1
-3
（
2
）
即
x
在对称轴的右侧
.
当 时，
函数的值随着
x
的增大而减小
.
当 时，
方法归纳
当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1.
配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴
.
2.
画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明
x
的取值范围
.
3.
判断，判断
x
的取值范围与对称轴的位置关系
.
根据二次函数的性质，确定当
x
取何值时函数有最大或最小值
.
然后根据
x
的值，求出函数的最值
.
例
2
用长为
6
米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框
.
窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
x
解：设矩形窗框的宽为
x
m
，则高为
m.
这里应有
x
＞
0
，
故
0
＜
x
＜
2.
矩形窗框的透光面积
y
与
x
之间的函数关系式是：
几何图形的最大面积
二
即
配方得
所以，当
x
=1
时，函数取得最大值，最大值
y
=1.5.
x
=1
满足
0
＜
x
＜
2
，这时
因此，所做矩形窗框的宽为
1 m
、高为
1.5 m
时，它的透光面积最大，最大面积是
1.5
m
2
.
例
1
用总长为
60m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l
的变化而变化
.
当
l
是多少时，场地的面积
S
最大？
问题
1
矩形面积公式是什么？
典例精析
问题
2
如何用
l
表示另一边？
问题
3
面积
S
的函数关系式是什么？
例
1
用总长为
60m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l
的变化而变化
.
当
l
是多少时，场地的面积
S
最大？
解
:
根据题意得
S
=
l
(30-
l
),
即
S
=-
l
2
+30
l
(0
2
-1
x
>-1
讲授新课
利用两个函数图象求方程或方程组的解
一
合作探究
x
y
k
2
k
1
已知二次函数 的图象如图所示：
通过观察以下图象，一元二次方程 的解是
_______________.
x
1
=
k
1
，
x
2
=
k
2
二次函数的图象与
x
轴的交点
.
y
=0
(
x
2
,
h
)
x
y
k
2
k
1
问题
1
二次函数 的图象与
x
轴（直线
y
=0
）的交点的横坐标是一元二次方程 的根，那么，二次函数 与直线
y
=
h
的交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？
这个点的坐标有几种表示方式？
方程 的实数根
.
x
y
x
1
x
2
问题
2
如图，二次函数 的图象与一次函数 的图象交于两点，观察以下图象，你能得到哪些信息？
x
1
,
x
2
可以看做是方程 的解
.
(
x
1
，
y
1
),
(
x
2
，
y
2
)
也可以看做是方程组 的解
.
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
典例精析
例
1
利用二次函数的图象求一元二次方程
x
2
+2
x
-
1=3
的近似根
.
解：
(1)
原方程可变形为
x
2
+2
x
-
4=0
；
(3)
观察估计抛物线
y
=
x
2
+2
x
-
4
和
x
轴的交点的横坐标；
(2)
用描点法作二次函数
y
=
x
2
+2
x
-
4
的图象；
由图象可知
,
它们有两个交点
,
其横坐标一个在
-4
与
-3
之间
,
另一个在
1
与
2
之间
,
分别约为
-3.2
和
1.2.
（
4
）由此可知
,
一元二次方程
x
2
+2
x
-
1=3
的近似根为：
x
1
≈3.2,
x
2
≈1.2.
想一想：
还有没有别的办法求这个方程的近似根？
(1)
用描点法作二次函数
y
=
x
2
+2
x
-
1
的图象；
(3)
观察估计抛物线
y
=
x
2
+2
x
-
1
和直线
y
=3
的交点的横坐标；
(2)
作直线
y
=3
；
方法二：
2
x
y
2
4
4
-2
-4
0
-2
-4
由图象可知
,
它们有两个交点
,
其横坐标一个在
-4
与
-3
之间
,
另一个在
1
与
2
之间
,
分别约为
-3.2
和
1.2.
（
4
）由此可知
,
一元二次方程
x
2
+2
x
-
1=3
的近似根为
x
1
≈3.2,
x
2
≈1.2.
方法三：
(1)
作二次函数
y
=
x
2
的图象；
(2)
作一次函数
y
=
-
2
x
+4
的图象
；
(3)
观察估计抛物线
y
=
x
2
+2
x
-
1
和直线
y
=3
的交点的横坐标；
由图象可知
,
它们有两个交点
,
其横坐标一个在
-4
与
-3
之间
,
另一个在
1
与
2
之间
,
分别约为
-3.2
和
1.2.
（
4
）由此可知
,
一元二次方程
x
2
+2
x
-1=3
的近似根为
x
1
≈3.2,
x
2
≈1.2.
2
x
y
2
4
4
-2
-4
o
-2
两个函数图象的交点坐标就是对应函数解析式所组成的方程组的解.
函数解析式对应方程的根，就是该函数图象与
x
轴交点的横坐标；
归纳总结
利用两个函数图象求不等式的解集
二
例
2
已知抛物线
(
a
＞
0
）与直线 相交于点
O
（
0,0
）
和点
A
（
3,2
），求不等式 的解集
.
分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的解析式
.
因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集
.
解：根据题目提供的条件，画出草图：
x
y
O
3
2
由图可知，不等式 的解集为 或
.
方法归纳
已知函数
y
1
＝
x
2
与函数 的图象大致如图，若
y
1
＜
y
2
，则自变量
x
的取值范围是
( )
做一做
A.
C.
B.
或
D.
或
C
解析：先根据方程 算出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案
.
当堂练习
1.
若二次函数
y
=
x
2
+bx
的图象的对称轴是经过点（
2,0
）
且平行于
y
轴的直线，则关于
x
的方程
x
2
+
bx
=5
的解为（ ）
A.
x
1
=0,
x
2
=4 B.
x
1
=1,
x
2
=5
C.
x
1
=1,
x
2
=-5 D.
x
1
=-1,
x
2
=5
2.
若二次函数
y
=
ax
2
+bx+c
(
a
＜
0
）
的图象经过点（
2,0
），
且其对称轴为
x
=-1
，则使函数值
y
＞
0
成立的
x
的取值范围是
（ ）
A.
x
＜
-4
或
x
＞
2 B.-4
≤
x
≤2
C.
x
≤
-4
或
x
≥
2 D.-4
＜
x
＜
2
D
D
3.
二次函数
y
=
ax
2
+bx+c
(
a
≠0
，
a,b,c
为常数）
的图象如图所示，则方程
ax
2
+bx+c=m
有实数根的条件
是
（ ）
A.
m
≥-
2 B.
m
≥
5
C.
m
≥
0
D.
m
≥
4
解析：
方程
ax
2
+bx+c=m
有实数根，即表示二次函数
y
=
ax
2
+bx+c
的图象与直线
y=m
有交点
.
A
4.
如图，一次函数
y
1
=kx
+1
与二次函数
y
2
=
ax
2
+bx
-2
交于
A
、
B
两点，且
A
（
1,0
），抛物线的对称轴是
.
（
1
） 求
k
和
a
、
b
的值；
（
2
）求不等式
kx
+1
＞
ax
2
+bx
-2
的解集
.
x
y
A
O
B
解：（
1
）
y
1
=kx
+1
经过点
A
（
1,0
），则
0=
k
+1
，得
k=
-1.
y
=
ax
2
+bx
-2
经过点
A
（
1,0
），则
0=
a+b
-2
①
，
抛物线的对称轴是 ，故
②
，
联立
①
②，
解得
（
2
）根据对称性，可知
y
2
道与
x
轴的另一个交点为（
-4,0
），
根据图象可以看出，
kx
+1
＞
ax
2
+bx
-2
的解集为
-4
＜
x
＜
1.
x
y
A
O
B
课堂小结
变 形
函数图象交点的横坐标
变 形
函数图象交点的横坐标
变 形
变 形
解集是抛物线图象在直线下方的点的横坐标所组成的取值范围
解集是抛物线图象在直线上方的点的横坐标所组成的取值范围
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