天天资源网 / 初中数学 / 教学同步 / 华东师大版（2012） / 八年级下册 / 第17章 函数及其图象 / 华师版八年级下册数学第17章函数及其图象教学课件
资料简介
17.1
变量与函数
第
17
章 函数及其图象
第
1
课时 变量与函数的概念及函数的表示方法
1．联系自己的学习、生活实际，通过具体情境领悟函数的概念，了解常量、变量，知道自变量与函数，能写出简单的函数表达式
;
（重点）
2．探究变量的发现和函数概念的形成，以及表示方法．（难点）
学习目标
导入新课
万物皆变
行星在宇宙中的
位置
随
时间
而变化
情境引入
气温
随
海拔
而变化
汽车行驶
里程
随行驶
时间
而变化
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律
.
讲授新课
变量与函数
一
我们生活在一个变化的世界，通常会看到在同一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化
,
那我们如何来研究各种运动变化呢
?
数学上常用
变量与函数
来刻画各种运动变化
.
问题
1
如图，用热气球探测高空气象
.
当
t
=
3min
，
h
为
650m
设热气球从海拔
500m
处的某地升空，它上升后到达的海拔高度
h
m
与上升时间
t
min
的关系记录如下表：
时间
t
/min
0
1
2
3
4
5
6
7
…
海拔高度
h
/m
500
550
600
650
700
750
800
850
…
当
t
=
2min
，
h
为
600m
当
t
=
1min
，
h
为
550m
当
t
=
0min
，
h
为
500m
（
1
）计时一开始，热气球的高度是多少？
（
2
）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？
（
3
）你能总结出
h
与
t
的关系吗？
500m
50m×1
＝
50m
50m×2=100m
50m×3=150m
50m×4=200m
…
50m×t=50tm
h
=500+50
t
气球升空的高度
h
m
保持不变的量
（常量）
热气球原先所在的高度
500m
热气球上升的速度
50m/min
不断变化的量
热气球升空的时间
t
min
（变量）
（
4
）哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？
因别人变化而变化的量
__________.
自我发生变化的量
___________
；
（
5
）热气球上升的高度
h
与时间
t
，这两个变量之间有关系吗？
t
h
结论：
在一个变化的过程中，取值会发生变化的量称为
变量
，取值固定不变的量称为
常量
.
时间
t
/min
0
1
2
3
4
5
6
7
…
海拔高度
h
/m
500
550
600
650
700
750
800
850
…
典例精析
例
1
指出下列事件过程中的常量与变量
(1)
某水果店橘子的单价为
5
元／千克，买
a
千克橘子的总价为
m
元，其中常量是
，变量是
；
(2)
周长
C
与圆的半径
r
之间的关系式是
C
＝
2
π
r
，
其中常量是
，变量是
；
(3)
三角形的一边长
5cm
，它的面积
S(cm
2
)
与这边上的高
h(cm)
的关系式为 ，其中常量是
，变量是
；
5
a
，
m
2
，π
C
，
r
注意：
π是一个确定的数，是常量
S
，
h
指出下列变化过程中的变量和常量：
（
1
）汽油的价格是
7.4
元
/
升，加油
x
升
，车主加油付油费为
y
元；
（
2
）小明看一本
200
页的小说，看完这本小说需要
t
天，平均每天所看的页数为
n
；
（
3
）用长为
40 cm
的绳子围矩形，围成的矩形一边长为
x
cm
，其面积为
S
cm
2
．
（
4
）
若直角三角形中的一个锐角的度数为
α
°，则另一锐角的度数
β
°与
α
°间的关系式是
β=90
－
α.
练一练
例
2
阅读并完成下面一段叙述：
⒈某人持续以
a
米／分的速度用
t
分钟时间跑了
s
米，其中常量是
,
变量是
.
⒉
s
米的路程
,
不同的人以不同的速度
a
米／分各需跑的时间为
t
分种
,
其中常量是
_____,
变量是
.
3.
根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论：
.
在不同的条件下，常量与变量是相对的
a
t
，
s
s
a,t
区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值
.
方法
问题
2
下图是某市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线
.
O
(1)
你发现哪些变量？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
为什么？
(2)
任意给出这一天中的某一时刻，如
4.5h
、
20h
，你能找到这一时刻的用电负荷
y
MW
（兆瓦）是多少吗？说明了什么？
时间、负荷
时间
负荷
因为负荷随时间的变化而变化
.
能，分别为
10000MW
、
15000MW
，说明
t
的值一确定，
y
的值就唯一确定了
.
(3)
这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？
这一天的用电高峰在
13.5h
达到
18000MW
，用电低谷在
4.5h
达到
10000MW.
问题
3
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为
刹车
距离
.
刹车距离是分析事故原因的一个重要因素
.
某型号的汽车在平整路面上的刹车距离
s
m
与车速
v
km/h
之间有下列经验公式：
(1)
式中哪个量是常量？哪
个
量是变量？哪个量是自变量
？
哪个量是因变量？
(2)
当刹车时车速
v
分别是
40
、
80
、
120km/h
时，相应的刹车距离
s
分别是多少？
当
v
＝
40km/h
时，
s
＝
6.25m
；
当
v
＝
80km/h
时，
s
＝
25m
；
当
v
＝
120km/h
时，
s
＝
56.25m.
①256
；②
s
,
v
；③
v
；④
s.
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如
x
和
y
，对于
x
的每一个值，
y
都有唯一的值与它对应，
我们就说
x
是
自变量
，
y
是
因变量
.
此时也称
y
是
x
的函数
.
概念学习
典例精析
例
3
下列关于变量
x
，
y
的关系式：
y
=2
x
+3
；
y
=
x
2
+3
；
y
=2|
x|
；④ ；⑤
y
2
-3
x
=10
，其中表示
y
是
x
的
函数关系的是
．
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个
变量是否
有唯一确定的值与它对应
.
方法
一个
x
值有两个
y
值与它对应
函数的表示方法
二
问题
2
：
用热气球探测高空气象
时间
t
/min
0
1
2
3
4
5
6
7
…
海拔高度
h
/m
500
550
600
650
700
750
800
850
…
问题
1
：
汽车刹车问题
用数学式子表示函数关系的方法叫做
解析法
.
我们把通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做
列表法
.
问题
3
：
绘制气温变化曲线
时间
t(
时
)
8
10
2
4
6
12
14
16
18
20
22
24
0
温度
T(
C)
2
4
6
8
-2
-4
0
我们把
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做
图象法
.
函数的三种表示法：
y
= 2.88
x
图象法、
列表法、
解析法．
1
4 9 16
25 36 49
知识要点
列表法
解析法
图象法
定义
实例
优点
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法
问题
2
具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系
用数学式子表示函数关系的方法
问题
3
准确地反映了函数随自变量变化的数量关系
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法
问题
1
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律
函数三种表示方法的区别
当堂练习
1.
设路程为
s
，时间为
t
，速度为
v
，当
v
=60
时，路程和时间的关系式为
，这个关系式中，
是常量，
是变量，
是
的函数
.
60
s
=60
t
t
和
s
s
t
2.
油箱中有油
30kg
,
油从管道中匀速流出，
1h
流完，则油箱中剩余油量
Q（kg
）与流出时间
t
（
min
）之间的函数关系式是
.
3.
写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数
.
（
1
）运动员在
200
米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间
t
（秒）与跑步的速度
v
(
米
/
秒
)
的关系式；
（
2
）
n
边形的对角线条数
s
与边数
n
之间的关系式
.
解：（
1
） ，其中
200
是常量，
v
、
t
是变量，
v
是自变量，
t
是
v
的函数；
（
2
）
，其中 ，
-3
是常量，
s
、
n
是变
量，
n
是自变量，
s
是
n
的函数
.
4.
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的
函数？如果是，请指出自变量
.
（
1
）改变正方形的边长
x
，正方形的面积
S
随之变化；
解：（
1
）
S
是
x
的
函数，其中
x
是自变量
.
（
2
）秀水村的耕地面积是
10
6
m
2
，这个村人均占有耕地面积
y
（单位：
m
2
）随这个村人数
n
的变化而变化；
（
3
）
P
是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为
x
，它对应的实数为
y
，
y
随
x
的变化而变化．
（
2
）
y
是
n
的函数，其中
n
是自变量
.
（
3
）
y
不是
x
的函数
.
例如，到原点的距离为
1
的点对应实数
1
或
-1,
函数
定义：自变量、因变量、常量
课堂小结
函数的表示方法：解析法，
列表法和图象法
17.1
变量与函数
第
17
章 函数及其图象
第
2
课时 求自变量的取值范围与函数值
学习目标
1.
理解
自变量应符合实际意义；
2.
会求函数的值，并确定自变量的取值范围
.(
难点
)
做一做：
请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（
1
）汽车以
60 km/h
的速度匀速行驶，行驶的时间为
t
（单位：
h
），行驶的路程为
s
（单位：
km
）；
（
2
）多边形的边数为
n
，内角和的度数为
y
．
问题（
1
）中，
t
取
－
2
有实际意义吗？ 问题（
2
）中，
n
取
2
有意义吗？
导入新课
复习引入
自变量的取值范围
问题：
上个课时的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
自变量
t
的取值范围
:__________
t
≥0
情景一
讲授新课
1
2
3
4
5
…
…
1
3
6
10
15
层数
n
物体总数
y
情景二
罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放
.
随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
自变量
n
的取值范围：
_________.
n
取正整数
一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到
-273℃
，则气体的压强为零
.
因此，物理学把
-273℃
作为热力学温度的零度
.
热力学温度
T
(K)
与摄氏温度
t
(℃)
之间有如下数量关系：
T
=
t
+273,
T
≥0.
情景三
自变量
t
的取值范围：
___________.
t
≥
-273
根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？
在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫
函数的自变量取值范围
．
解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可知
2
x
+
y
=180
°
,
有
y
=180
°
-2
x.
由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是
0
＜
x
＜
90
°
.
y
x
例
1
等腰三角形顶角的度数
y
是底角度数
x
的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量
x
的取值范围
.
典例精析
想一想
：下列函数中自变量
x
的取值范围是什么？
.
0
.
-1
.
-2
-2
x
取全体实数
①
函数表达式有意义
求函数自变量的取值范围时，需要考虑：
②
符合实际
4.
表达式
是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解
.
3.
表达式
是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数
.
表达式
是奇次根式时，自变量取全体实数；
1.
表达式是整式时，自变量取全体实数；
2.
表达式
是分式时，自变量的取值要使分母不为
0
；
归纳总结
t
/
分
0
1
2
3
4
5
…
h
/
米
…
3
11
45
37
37
11
由图象或表格可知：当
t
=0
时，
h
=3
，
那么，
3
就是当
t=0
时的
函数值
.
求函数值
二
问题：
右
图反映了摩天轮上的一点的高度
h
(m)
与旋转时间
t
(min)
之间的关系，那么怎么表示它们各自大小呢？
例
2
已知函数
(1)
求当
x
=2
，
3
，
-3
时，函数的值；
(2)
求当
x
取什么值时，函数的值为
0
.
解：（
1
）当
x
=2
时，
y
=
;
当
x
=3
时，
y
=
;
当
x
=-3
时，
y
=7
;
（
2
）令 解得
x
=
即当
x
=
时，
y
=0.
把自变量
x
的
值代入关系式中，即可求出函数
的
值
.
例
3
等腰直角三角形
ABC
的直角边长与正方形
MNPQ
的边长均为10
cm，CA
与
MN
在同一直线上，开始时
A
点与
M
点重合，让△
ABC
向右运动，最后
A
点与
N
点重合．
(1)
试写出重叠部分面积
y
cm
2
与
MA
长度
x
cm
之间的函数关系式．
解 ：
y
与
x
之间的函数关系式为
(2)
当
A
点向右移动
1 cm
时，重叠部分的面积是多少?
答
:MA＝1cm
时，重叠部分的面积是
cm
2
解 ：点
A
向右移动
1cm
，即
x
＝1
时
.
例
4
汽车的油箱中有汽油
50L
，如果不再加油，那么油箱中的油量
y
（单位：
L
）随行驶里程
x
（单位：
km
）的增加而减少，平均耗油量为
0.1L/km.
（
1
）写出表示
y
与
x
的函数关系的式子
.
解
:
(1)
函数关系式为
:
y
= 50
－
0.1
x
0.1
x
表示的意义是什么？
（
2
）指出自变量
x
的取值范围；
(2)
由
x
≥0
及
50
－
0.1
x
≥0
得
0 ≤
x
≤ 500
∴
自变量的取值范围是
0 ≤
x
≤ 500
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数表达式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义
.
归纳
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
（
3
）汽车行驶
200 km
时，油箱中还有多少油？
(3)
当
x
= 200
时
,
函数
y
的值为
y
=50
－
0.1×200=30.
因此
,
当汽车行驶
200 km
时
,
油箱中还有油
30L.
问题二：
x ,y
之间存在怎样的数量关系？这种数量关系可以以什么形式给出？
例
5.
一个三角形的周长为
y
cm
，三边长分别为
7cm
，
3cm
和
x
cm.
(1)
求
y
关于
x
的函数关系式；
y
=
x
+10
这些函数值都有实际意义吗？
分析：问题一：问题中包含了哪些变量？
x
，
y
分别表示什么？
根据题设，可得
y
=
x
+7+3
例
5.
一个三角形的周长为
y
cm
，三边长分别为
7cm
，
3cm
和
x
cm.
(2)
求自变量
x
的取值范围
.
4< x
>
< < < < < = = 思考： 根据一次函数的图象判断 k ， b 的正负，并说出直线经过的象限： 归纳总结 一次函数 y = kx ＋ b 中， k ， b 的正负对函数图象及性质有什么影响？ 当 k ＞ 0 时，直线 y = kx ＋ b 由左到右逐渐上升， y 随 x 的增大而增大 . 当 k ＜ 0 时，直线 y = kx ＋ b 由左到右逐渐下降， y 随 x 的增大而减小 . ① b >0
时，直线经过 第一、二、四象限；
②
b
0
时，直线经过第一、二、三象限；
②
b
0
，解得
(2)
由题意得
1-2
m
≠0
且
m
-15
，可知
y
1
，
y
2
的大小关系
.
观察与思考
当
k
=
－
2
，
－
4
，
－
6
时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾前面我们利用从特殊到一般的方法，研究反比例函数
(k
＞
0)
的
图象和
性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k
＜
0)
的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数
(
k
＜
0)
的
图象
和
性质
：
●由两条曲线组成，
且分别位于第二、四象限
它们与
x
轴、
y
轴都不相交；
●在每个象限内，
y
随
x
的增大而增大
.
归纳：
(1)
当
k
> 0
时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，
y
随
x
的增大而减小；
(2)
当
k
< 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四 象限，在每一象限内， y 随 x 的增大而增大 . 一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质： k 的正负决定反比例函数图象所在的象限和增减性 点 (2 ， y 1 ) 和 (3 ， y 2 ) 在函数 上，则 y 1 y 2 ( 填“ >
”“
< ” 或“ = ” ) . < 练一练 例 2 已知反比例函数 ， y 随 x 的增大而增大，求 a 的值 . 解：由题意得 a 2 + a － 7= － 1 ，且 a － 1 0
，
∴ 当
x
< 0 时， y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 － 3 < x < － 1 时，－ 6 < y < － 2. 当堂练习 1. 反比例函数 的图象在 ( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 B 当堂练习 2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2 x 与 的 图象大致是 ( ) O x y O x y O x y O x y A. B. C. D. B 3. 已知反比例函数 的图象在第一、三象 限内，则 m 的取值范围是 ________. 4. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论： (1) 经过点 ( － 1 ， 12) 和点 (10 ，－ 1.2) ； (2) 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小； (3) 双曲线位于第二、四象限 . 其中正确的是 ( 填序号 ). (1)(3) m ＞ 2 5. 在反比例函数 ( k >0)
的图象上有两点
A
(
x
1
，
y
1
)
，
B
(
x
2
，
y
2
)
，
且
x
1
>
x
2
>0
，则
y
1
－
y
2
0.
＜
6.
已知反比例函数 的图象经过点
A
(2
，－
4).
(
1
)
求
k
的值；
解：
∵
反比例函数
的图象经过点
A
(2
，－
4)
，
∴ 把点
A
的坐标代入表达式，得 ，
解得
k
=
－
8.
(
2
)
这个函数的图象分布在哪些象限？
y
随
x
的增大
如何变化
?
解：
这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个
象限内，
y
随
x
的增大而增大
.
(
3
)
画出该函数的图象；
O
x
y
解：如图所示：
(
4
)
点
B
(1
，－
8)
，
C (
－
3
，
5)
是否在该函数的图象上？
因为点
B
的坐标满足该解析式，而点
C
的坐标
不满足该解析式，
所以点
B
在该函数的图象上，点
C
不在该函数
的图象上
.
解：该反比例函数的解析式为
.
7.
已知反比例函数
y
=
mx
m
²
－
5
，它的两个分支分别在
第一、三象限，求
m
的值
.
解：因为反比例函数
y
=
mx
m
²
－
5
的两个分支分别在第
一、三象限，
所以有
m
2
－
5=
－
1
，
m
＞
0
，
解得
m
=2.
能力提升：
8.
点
(
a
－
1
，
y
1
)
，
(
a
＋
1
，
y
2
)
在反比例函数
(k
＞
0)
的图象上，若
y
1
＜
y
2
，求
a
的取值范围
.
解：由题意知，在图象的每一支上，
y
随
x
的增大而
减小
.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵
y
1
＜
y
2
，∴
a
－1＞
a
+1， 无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵
y
1
＜
y
2
，
∴
必有
y
1
＜
0
＜
y
2
.
∴
a
－1＜0，
a
+1＞0， 解得：－1＜
a
＜1
.
故
a
的取值范围为：－1＜
a
＜1．
反比例函数
(
k
≠0)
k
k
> 0
k
< 0 图象 性质 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每个象限内， y 随 x 的增大而减小 在每个象限内， y 随 x 的增大而增大 课堂小结 17.5 实践与探索 第 17 章 函数及其图象 1.一次函数与方程(组)和一元一次不等式的关系 情境引入 学习目标 1 ．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、 一元 一次不等式之间的联系． （重点、难点） 2 ． 会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义 . 导入新课 观察与思考 今天数学王国搞了个家庭 Party ，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“ x + y =5”. 二元一次方程 一次函数 x + y =5 到我这里来 到我这里来 这是怎么回事？ x + y =5 应该坐在哪里呢？ 讲授新课 一次函数与一元一次方程 一 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 问题 1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （ 1 ） 2 x +1=3 ；（ 2 ） 2 x +1=0 ；（ 3 ） 2 x +1= － 1 ． 用函数的观点看： 解一元一次方程 ax + b = k 就是 求当函 数（ y = ax + b ）值为 k 时对应的 自变量的值 ． 2 x +1=3 的解 y =2 x +1 2 x +1=0 的解 2 x +1= － 1 的解 合作探究 1.直线 y =2 x +20 与 x 轴交点坐标为（____,_____）， 这说明方程2 x ＋20＝0的解是 x =_____ . -10 0 -10 练一练 2. 若方程 k x ＋ 2 ＝0的解是 x = 5 ，则 直线 y = kx ＋ ＋ 2 与 x 轴交点坐标为（____,_____）. 5 0 求一元一次方程 kx + b =0 的解 ． 一次函数与一元一次方程的关系 一 次函数 y= kx+b 中， y =0 时 x 的值 ． 从“函数值”看 求一元一次方程 kx + b =0 的解 ． 求直线 y= kx+b 与 x 轴 交点的 横 坐标． 从“函数图象”看 归纳总结 例 1 一个物体现在的速度是 5 米 / 秒，其速度每秒增加 2 米 / 秒，再过几秒它的速度为 17 米 / 秒？ ( 从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答 ) 解法 1 ：设再过 x 秒它的速度为 17 米 / 秒， 由题意得 2 x +5=17 解得 x =6 答：再过 6 秒它的速度为 17 米 / 秒 . 典例精析 解法 2 ：速度 y （单位：米 / 秒）是时间 x （单位：秒）的函数，即 y=2 x +5 由 2 x +5=17 得 2 x － 12=0 由右图看出直线 y=2 x － 12 与 x 轴的交点为（ 6 ， 0 ），得 x =6. O x y 6 － 12 y=2 x － 12 解法 3 ：速度 y （单位：米 / 秒）是时间 x （单位：秒）的函数，即 y=2 x +5 由右图可以看出当 y =17 时， x =6. y=2 x +5 x y O 6 17 5 － 2.5 一次函数与二元一次方程组 二 问题 2 1 号探测气球从海拔 5 m 处出发，以 1 m/min 的速度上升．与此同时， 2 号探测气球从海拔 15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了 1 h ． (1) 请用解析式分别表示两个气 球所在位置的海拔 y ( m) 与气球 上升时间 x (min) 的函数关系． h 1 h 2 气球 1 海拔高度： y = x +5 ； 气球 2 海拔高度： y =0.5 x +15 ． 思考 1 ： 一次函数 与二元一次方程 有什么关系？ 一次函数 二元一次方程 一次函数 y =0.5 x +15 二元一次方程 y -0.5 x =15 二元一次方程 y =0.5 x +15 用方程观点看 用函数观点看 从式子（数）角度看： 由函数图象的定义可知： 直线 y =0.5 x +15 上的每个点的坐标 ( x ， y ) 都能使等式 y =0.5 x +15 成立，即 直线 y =0.5 x +15 上的每个点的坐标都是二元一次方程 y =0.5 x +15 的解 思考 2 ： 从形的角度看，一次函数 与二元一次方程 有什么关系？ 15 10 5 - 5 5 10 O x y y = 0 . 5 x + 15 从数的角度看： 就是求自变量为何值时，两个一次函数 y = x +5 ， y =0.5 x +15 的函数值相等，并求出函数值． 解方程组 y = x +5 y =0.5 x +15 h 1 h 2 (2) 什么时刻， 1 号气球的高度赶上 2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究 . 气球 1 海拔高度： y = x +5 气球 2 海拔高度： y =0.5 x +15 二元一次方程 组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标． A （ 20 ， 25 ） 30 25 20 15 10 5 10 20 y = x +5 y =0.5 x +15 15 5 O x y 从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？ 归纳总结 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b ( k 、 b 为常数，且 k ≠0 ) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线． 方程 组 的解 对应两条 直线 交点的坐标 . 观察函数图象，直接回答下列问题： （ 1 ）在什么时候， 1 号气球比 2 号气球高？ （ 2 ）在什么时候， 2 号气球比 1 号气球高？ 气球 1 海拔高度： y = x +5 气球 2 海拔高度： y =0.5 x +15 （ 1 ） 20min 后， 1 号气球比 2 号气球高 . （ 2 ） 0~ 20min 时， 1 号气球比 2 号气球高 . O y x 例 2 如图，求直线 l 1 与 l 2 的交点坐标 . 分析：由函数图象可以 求直线 l 1 与 l 2 的 解析式，进而通过方程组求出交点坐标 . 解方程组 y =2 x +2 y =- x + 3 解：因为直线 l 1 过点 (-1 ， 0) ， (0 ， 2) ，用待定系数法可求得 直线 l 1 的 解析式 为 y =2 x +2. 同理 可求得 直线 l 2 的 解析式为 y =- x +3. 得 x = y = 即直线 l 1 与 l 2 的交点坐标为 O y x 如图，一次函数 y=ax+b 与 y=cx+d 的图象交于点 P ，则方程组 的解是多少？ 解：此方程组的解是 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 -5 2 O -2 1 4 -6 x y 练一练 P y=ax+b y=cx+d 一次函数与一元一次不等式 三 问题 3 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ （ 1 ） 3 x +2 ＞ 2 ；（ 2 ） 3 x +2 ＜ 0 ；（ 3 ） 3 x +2 ＜ -1 ． 不等式 ax + b ＞ c 的解集就是使函数 y = ax + b 的函数值大于 c 的对应的 自变量取值范围 ； 不等式 ax + b ＜ c 的解集就是使函数 y = ax + b 的函数值小于 c 的对应的 自变量取值范围 ． 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =3 x +2 y =2 y =0 y =-1 例 3 画出函数 y =-3 x +6 的图象，结合图象求： （ 1 ）不等式 -3 x +6>0
和
-3
x
+60
C. x
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