资料简介
考点 04 曲线运动
1．（2021·安徽高三开学考试）如图，倾角 37 的斜面体放在水平面上，在水平而上 D 点正上方 O 点处
水平向右抛出一个小球，结果小球恰好垂直斜面打在 E 点，O D C E、 、 、 在同一竖直平面内，已知
6mCD CE L ，sin37 0.6, 37cos 0.8 ，重力加速度 210m / sg ，则小球抛出时的初速度大小
为（ ）
A．10m / s B． 9m / s C．8m / s D． 7m / s
【答案】B
【详解】
小球做平抛运动的水平位移为
cos37 1.8x L L L
由题意知
0x v t ， 0 0tan
y
v v
v gt
解得
0 9m / sv
故选 B。
2．（2021·定远县育才学校高三开学考试）如图所示，竖直平面内有 A、B、C 三点，三点连线构成一直角
三角形，AB 边竖直，BC 边水平，D 点为 BC 边中点。一可视为质点的物体从 A 点水平抛出，轨迹经过
D 点，与 AC 交于 E 点。若物体从 A 运动到 E 的时间为 1t ，从 E 运动到 D 的时间为 2t ，则 1t ： 2t 为（ ）
A．1：1 B．1：2 C．2：3 D．1：3
【答案】A
【详解】
设∠C=θ，∠ADB=α，由几何关系知
tanα=2tanθ
物体初速度为 v0，根据平抛运动规律，质点由 A 到 E，有
2
1
0 1
1
2tan
gt
v t
解得
0
1
2 tanvt g
同理质点由 A 到 D，有
2
1 2
0 1 2
1
2tan
g t t
v t t
解得
0
1 2
2 tanvt t g
故质点由 E 到 D 的时间
0 0
2 1
2 tan 2 tanv vt tg g
所以
t1：t2=1：1
故选 A。
3．（2021·辽宁朝阳市·高三月考）2021 年 1 月 12 日，滑雪战队在崇礼国家越野滑雪中心进行越野滑雪训练。
如图所示，整个滑雪轨道在同一竖直平面内，弯曲滑道 OA 与倾斜长直滑道平滑衔接，某运动员从高为
H 的 O 点由静止滑下，到达 A 点水平飞出后落到长直滑道上的 B 点，不计滑动过程的摩擦和空气阻力，
设长直滑道足够长，若弯曲滑道 OA 的高 H 加倍，则（ ）
A．运动员在 A 点水平飞出的速度加倍
B．运动员在 A 点飞出后在空中运动的时间加倍
C．运动员落到长直滑道上的速度大小不变
D．运动员落到长直滑道上的速度方向不变
【答案】D
【详解】
A．根据 21
2mgH mv 可得运动员水平飞出的速度 2v gH ，若 H 加倍，则水平飞出的速度 v 变为 2
倍，A 错误；
B．运动员从 A 点飞出后做平抛运动，则
21
2tan 2
gt gt
vt v
解得 2 tant g
，若 H 加倍，则在空中运动的时间 t 变为 2 倍，B 错误；
CD．运动员落到斜面上的速度方向与水平方向夹角 的正切值是位移方向与水平方向夹角 正切值的 2
倍，若 H 加倍，则运动员落到斜面上的速度方向不变，大小为
cos
vv
， 不变，若 H 加倍，则运
动员落到斜面上的速度大小变为 2 倍，C 错误，D 正确。
故选 D。
4．（2021·江西吉安市·高三月考）有一条小河，两岸平行，河水匀速流动的速度为 v0，小船在静水中速度
大小始终为 v，且 v>v0。若小船以最短位移过河所用的时间为 t，若小船以最短时间过河，所用的时间为
3
2
t，则河水流速与小船在静水中的速度之比为（ ）
A． 0 1
2
v
v
B． 0 3
2
v
v
C． 0 3
4
v
v
D． 0 2
2
v
v
【答案】A
【详解】
设水流动的速度为 0v ，小船在静水中的运动速度大小为 v，当船以最短时间过河时，则有
3
2
dt v
以最短位移过河则有
2 2
0
dt
v v
解得
0 1
2
v
v
选项 A 正确。
故选 A。
5．（2021·广西河池市·高三期末）如图所示，长木板倾斜放置，倾角为 30°，一个小球在板的上端以大小为
v0 的初速度水平抛出，结果小球恰好落在长木板的底端。若将板的倾角改为 45°，要使小球从板的上端
水平抛出，后也恰好能落在板的底端，则抛出的初速度大小为（ ）
A． 0
6
3 v B．
0
3 2
3 v C． 0
3 2
2 v D．
0
6 2
7 v
【答案】B
【详解】
设板长为 L，当倾角为 30°时
2
1
0 1
1 1
2 2
3
2
L gt
L v t
当倾角为 45时
2
2
1 2
2 1
2 2
2
2
L gt
L v t
解得
1 0
3 2
3v v
故选 B。
6．（2021·山东高三专题练习）一轻杆一端固定质量为 m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球在竖直面内
做半径为 R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是 gR
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
【答案】A
【详解】
AB．轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度 v＝
gR 时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；
CD．若 v＜ gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上
mg－F＝m
2v
R
随 v 增大，F 减小；
若 v＞ gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下
mg＋F＝m
2v
R
随 v 增大，F 增大，故 CD 均错误。
故选 A。
7．（2021·山东高三专题练习）如图所示，半圆形光滑圆环，竖直放置，环绕 y 轴以恒定角速度 转动，一
小球套在环上，若小球可在环上任意位置相对环静止，圆的方程为 2 2 2 (x y a a 为常量），则下列 的
值正确的是（ ）
A． g
ax B． g
ay C． g
y D． g
x
【答案】C
【详解】
设环与O 的连线与竖直方向之间的夹角为 ，小球转动的半径为
sinr a x
小球所受的合力垂直指向转轴，根据平行四边形定则
2tanF mg mx 合
其中
tan x
y
联立可得
g
y
故 C 正确，ABD 错误。
故选 C。
8．（2021·安徽高三期末）随着嫦娥五号完美收官，中国计划后续发射载人登月。假设你有幸成为载人登月
的航天员，在月表附近，绕月做匀速圆周运动的轨道舱内做了如下实验：长为 L 的细绳一端固定在转轴
O 处，一端系质量为 m 的木块（可视为质点），某时刻细绳恰好伸直且与 AB 连线成 角，通过击打使
木块获得在纸面内垂直于 AB 连线向左的速度 v0，下列说法正确的是（ ）
A．木块获得速度后，以 O 点为圆心，做匀速圆周运动
B．木块过 A 点时，绳的拉力为
2 2
0 cosmv
L
C．木块在整个运动过程中机械能守恒
D．木块从获得速度到第一次回到被击打位置所需的时间为
0
2 L
v
【答案】B
【详解】
ABC．由于航天器处于完全失重状态，木块被击打后获得速度，做匀速直线运动，到左边对称点细绳拉
直时有速度损失，保留的切线速度为 0 cosv ，木块的机械能减小，之后以该速度做匀速圆周运动。木
块过 A 点时，绳的拉力为
2 2
0 cosmvT L
可知 AC 错误，B 项正确。
D．木块从获得速度后到第一次回到被击打位置并不是做匀速圆周运动，则所需的时间不等于
0
2 L
v
，选
项 D 错误。
故选 B。
9．（2021·全国高三专题练习）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相
等的两个物体 A 和 B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧
断细线，两个物体的运动情况是（ ）
A．物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动
B．物体 A 发生滑动，离圆盘圆心越来越近
C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
D．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
【答案】A
【详解】
当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A 物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心
力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，A 所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，
A 要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是 B 所需要的向心力小于 B 的最大静摩擦力，所以 B 仍
保持相对圆盘静止状态。
故选 A。
10．（2021·江苏南通市·高三期末）如图所示，OO′为竖直固定转轴，足够长的光滑轻杆用铰链固定于转轴
O 点，杆与竖直方向的夹角为 。轻质弹簧套在杆上，下端固定于 O 点，上端系住小球 A（A 套在杆上），
弹簧原长为 l。现使杆随转轴 OO′转动，角速度 从零开始缓慢增大，下列说法正确的是（ ）
A．杆对小球的弹力不变
B．弹簧对小球的弹力减小
C．当 2
cos
sin
g
l
时，弹簧对小球的弹力大小恰好为零
D．小球的转动平面缓慢升高，杆对小球做的功等于小球机械能的增加量
【答案】C
【详解】
ABC．对小球受力分析，由牛顿第二定律可知
水平方向上有
FNcosθ+F 弹 sinθ=mω2r
竖直方向上有
FNsinθ+ F 弹 cosθ=mg
则当角速度 从零开始缓慢增大时，小球转动的平面逐渐升高，转动半径变大，弹簧的弹力 F 弹先减小
后增加，杆对小球的弹力 FN 也将发生变化；当弹簧对小球的弹力大小 F 弹恰好为零时，此时转动半径
r=lsinθ
解得
2
cos
sin
g
l
选项 C 正确；
D．由能量关系可知，小球的转动平面缓慢升高，杆对小球做的功与弹簧对球作用之和等于小球机械能
的增加量，选项 D 错误。
故选 C。
11．（2021·安徽池州市·高三期末）从 A、B 两点分别以大小为 v1、v2 的水平速度相向抛出小球结果两个小
球落在地面上的同一点且两球落地时的速度方向互相垂直，两球抛出点到落地点的水平距离相等，重力
加速度为 g，不计空气风力，则两球抛出点间的水平距离为（ ）
A． 1 2v v
g B． 1 22v v
g C．
2
1 2v v
g g
D．
2 2
1 22 ( )2
v v
g g
【答案】B
【详解】
设水平位移为 x ，A 球
1 1x v t
1
1
tan v
gt
得到
2
1tan v
gx
同理对于 B 球
2
2tan v
gx
由于
tan tan 1
因此有
1 2v vx g
两球抛出点间的水平距离为
1 222 v vs x g
故选 B。
12．（2021·安徽高三专题练习）如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴 1OO 以恒定的角速度 转动，圆筒的半
径 1.5mr 。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为 3
2
（设最
大静摩擦力等于滑动摩擦力），转动轴与水平面间的夹角为 60，重力加速度 g 取 210m/s ，则 的最小
值是（ ）
A．1rad/s B． 30 rad/s3
C．10rad/s D．5rad/s
【答案】C
【详解】
当物块在轨迹的最高点时，受到重力、支持力和摩擦力，如图
其中沿桶壁的方向
sin 60Nf F mg
垂直于桶壁的方向
2cos60NF mg m r
联立可得
= 10rad/s
故 C 正确；ABD 错误；
故选 C。
13．（2021·安徽高三专题练习）如图所示，在竖直的墙壁正前方有一个点 D ，点 D 到墙壁的水平距离是 d ，
从 D 点以不同的初速度水平抛出一个小球（视为质点），每次都可以击中墙壁，如果要想使小球以最小
的动能击中墙壁，则平抛小球的初速度是（ ）
A． 1
2 gd B． gd C． 2gd D． 2 gd
【答案】B
【详解】
如图所示，根据平抛运动的规律可得
2
2
0 0 0
1
2tan 2tan 2
gt gt gd
v t v v
2 2 2 2
0 0 0( tan )yv v v v v
联立解得
2 2
0
0
( )gdv v v
当 2 2
0
0
( )gdv v
时，即 0v gd 时 v 有最小值，故 B 正确；ACD 错误；
故选 B。
14．（2021·安徽高三专题练习）物块静止放在一个长为 L=1m 的水平传送带上，传送带 0 2m/sv ，物块与
传送带间动摩擦因数 0.25 。物块由传送带传送垂直落在了倾角 37 的斜面上， g 取 210m/s ，下
列说法正确的是（ ）
A．物块在传送带上运动了 0.8s
B．下落高度 H=0.32m
C．物块由初始到落到斜面上的时间约为 1.17s
D．物块在传送带上做匀加速直线运动
【答案】C
【详解】
AD．由牛顿第二定律可得
22.5m/sa g
由 2
0 2v ax 得
0.8mx
则 x L ，即物块在传送带上先匀加速后匀速。设物块做加速运动的时间为 1t ，则
0 1v at
解得
1 0.8st
对匀速运动的过程
2L x vt
解得
2 0.1st
则总时间
1 2 0.9st t t
故 A、D 错误；
B．由于是垂直落到斜面上，则
0tan
y
v
v
解得
2.7m/syv
又
3yv gt
解得
3 0.27st
物块在竖直方向的位移
2 2
3
1 1 10 0.27 0.36m2 2H gt
故 B 错误；
C．物块由初始到落到斜面上的时间约为
3 1.17st t t 总
故 C 正确。
故选 C。
15．（2021·安徽高三专题练习）如图所示，半圆槽 MABCN 在竖直面内， M 点、 N 点是半圆的水平直径
的两个端点，O 点是半圆圆心，OB 为竖直半径，A 、C 为半圆周上的两点，两点连线 AC 垂直平分 OB 。
现有三个小球 a 、b 、 c ，先从 M 点水平向右先后抛出 a 、b 两小球，两球依次落在 A 、 B 两点；再
从 P 点水平向右抛出 c 球 (P 是直径 MN 上的某一点），c 球恰好垂直圆周击中C 点，则下列说法中正确
的是（ ）
A． a 、 b 、 c 三球的下落时间之比为1: 2 :1
B． c 球抛出点 P 有可能与 M 点重合
C． a 、b 、 c 三球的平抛初速度之比为 (2 3) : 2 : 2 3
D． a 、 b 、 c 三球的机械能之比为 (7 4 3) : 2:12
【答案】C
【详解】
A．由题可知， abc 三个小球在竖直方向的位移之比为：1: 2 :1，由
21
2h gt
可知它们的时间之比为：1: 2 :1。故 A 错误；
B．c 球恰好垂直圆周击中C 点，则速度的方向延长线经过O 点；由平抛运动的推论可知，抛出点到 C 之
间的水平距离等于O 到C 点水平距离的 2 倍，然后结合几何关系可知，P 点一定在 A 点的正上方。故 B
错误；
C．A 、C 两点连线 AC 垂直平分 OB ，则 AO 与 CO 与竖直方向之间的夹角都是 60，所以 3AC R ，
而 M 与 A 之间的水平距离为 3
2R R 设 a 与 c 运动的时间为 t ，则 b 运动的时间为 2t ，沿水平方向：
对 a
3
2 aR R v t
对 b
· 2bR v t
对 c
3 cR v t
所以： : : (2 3): 2 :2 3a b cv v v ，故 C 正确；
D．由于没有选择合适的重力势能的 0 势能面，所以不能比较它们的机械能的大小关系，故 D 错误；
故选 C。
16．（2021·四川高三专题练习）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球 Q，细线穿过小孔（小孔光滑）
另一端连接在金属块 P 上，P 始终静止在水平桌面上，若不计空气阻力，小球在某一水平面内做匀速圆
周运动（圆锥摆）。实际上，小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用。设因阻力作用，小球 P
的运动轨道发生缓慢的变化（可视为一系列半径不同的圆周运动）。下面的判断正确的是（ ）
A．Q 的位置越来越高
B．细线所受的拉力变小
C．小球 Q 运动的角速度变大
D．P 受到桌面的静摩擦力变大
【答案】B
【详解】
A．由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，则所需要的向心力减小，小球做向心运动，Q 的位置越
来越低，故 A 错误；
BC．设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为 T，细线的长度为 L，Q 球做匀速圆周运动时，
由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图
则有
T cos
mg
，mgtanθ=m
2v
Lsin mω2Lsinθ
得
ω
cos
g
L
由于小球受到空气阻力作用，线速度减小，θ减小，cosθ增大，则得到细线拉力 T 减小，角速度ω减小，
故 B 正确，C 错误；
D．对 P 球，由平衡条件得知，P 受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力大小，则静摩擦力变小，故 D 错
误。
故选 B。
17．（2021·全国高三专题练习）天花板下悬挂的轻质光滑小圆环 P 可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。
一根轻绳穿过 P，两端分别连接质量为 m1 和 m2 的小球 A、B（m1≠m2）。设两球同时做如图所示的圆锥
摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（ ）
A．两球运动的周期相等 B．两球的向心加速度大小相等
C．球 A、B 到 P 的距离之比等于 m2∶m1 D．球 A、B 到 P 的距离之比等于 m1∶m2
【答案】AC
【详解】
A．对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力 FT，绳的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设
轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有
cosTF mg＝
拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到 P 的距离为 l，则有
2
2
4sin tan sinTF mg m lT
= =
解得周期为
cos2 2l hT g g
因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项 A 正确；
CD．连接两球的绳的张力 FT 相等，由于向心力为
2sin sinn TF F m l
故 m 与 l 成反比，即
1 1
2 2
l m
l m
选项 C 正确，D 错误；
B．又小球的向心加速度
2 22tan ( ) tana h hT
θ不同，故向心加速度大小不相等，选项 B 错误。
故选 AC。
18．（2021·广东惠州市·高三月考）如图所示，为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一长一短的绳子挂着相同
的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正
确的是（ ）
A．角速度慢慢增大，一定是线长的那个球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒
C．两个球都离开圆锥筒后，它们一定高度相同
D．两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力一定相同
【答案】AC
【详解】
AB．设绳子与竖直方向的夹角为 ，小球刚好离开圆锥筒时，圆锥筒的支持力为 0，则有
2tan sinmg m l
解得
cos
g
l
则绳子越长的其角速度的临界值越小，越容易离开圆锥筒，所以 A 正确；B 错误；
C．两个球都离开圆锥筒后，小球都只受重力与绳子的拉力，两小球都随圆锥筒一起转动，有相同的角
速度则有小球的高度为
cosh l
代入数据解得
2
gh
所以 C 正确；
D．小球都离开圆锥筒时绳子的拉力为
cos
mgT
由于绳子长度不同，则小球离开平台时的夹角也不同，所以拉力也不相同，则 D 错误；
故选 AC。
19．（2021·安徽高三专题练习）如图所示，竖直平面内固定的四分之一圆弧轨道 AP，圆弧轨道的圆心为 O，
OA 水平，OP 竖直，半径为 R＝2m。一质量为 m＝1kg 的小物块从圆弧顶点 A 开始以 2m/s 的速度从 A
到 P 做匀速圆周运动，重力加速度 g＝10m/s2，Q 为圆弧 AP 的一个三等分点（图中未画出），OA 与 OQ
的夹角为 30°，下列说法正确的是（ ）
A．在 Q 点时，重力的瞬时功率为 10 3 W
B．在 A 到 P 的过程中合力对小物块的冲量为零
C．小物块在 AQ 段克服摩擦力做的功等于在 QP 段克服摩擦力做的功
D．在 P 点时，小物块对圆弧轨道的压力大小为 11.5N
【答案】AC
【详解】
A．在 Q 点时，重力方向与速度方向夹角为 30°，则重力的瞬时功率为
P＝mgvcosθ＝10 3 W
故 A 正确；
B．在 A 到 P 的过程中小物块的速度方向不断改变，动量不断改变，所以合力对小物块的冲量不为零，
故 B 错误；
C．小物块在 AQ 段重力做的功
W1＝mgRsin30°
在 QP 段重力做到功
W2＝mgR（1﹣sin30°）
可得
W1＝W2
由小物块做匀速圆周运动和动能定理可知，小物块克服摩擦力做的功等于重力做的功，故 C 正确；
D．在 P 点时，由牛顿第二定律
2vN mg m R
得到小物块对圆弧轨道的压力大小为 12N，故 D 错误；
故选 AC。
20．（2021·四川高三专题练习）如图所示，“旋转秋千”中座椅（可视为质点）通过轻质缆绳悬挂在旋转圆
盘上。当旋转圆盘以角速度ω匀速转动时，不计空气阻力，缆绳延长线与竖直中心轴相交于 O 点，夹角
为θ，O 点到座椅的竖直高度为 h，则当ω增大时（ ）
A．h 不变 B．θ增大 C．ω2h 不变 D．ω2h 增大
【答案】BC
【详解】
座椅在水平面内做匀速圆周运动，由重力和绳的拉力的合力提供向心力，如图
则有
mgtanθ=mω2r
由几何关系有
r=htanθ
整理得
ω2h=g
不变，则当ω增大时，h 减小，θ增大。
故选 BC。
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