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考点 04 曲线运动 1.(2021·安徽高三开学考试)如图,倾角 37   的斜面体放在水平面上,在水平而上 D 点正上方 O 点处 水平向右抛出一个小球,结果小球恰好垂直斜面打在 E 点,O D C E、 、 、 在同一竖直平面内,已知 6mCD CE L   ,sin37 0.6, 37cos 0.8   ,重力加速度 210m / sg  ,则小球抛出时的初速度大小 为( ) A.10m / s B. 9m / s C.8m / s D. 7m / s 【答案】B 【详解】 小球做平抛运动的水平位移为 cos37 1.8x L L L   由题意知 0x v t , 0 0tan y v v v gt    解得 0 9m / sv  故选 B。 2.(2021·定远县育才学校高三开学考试)如图所示,竖直平面内有 A、B、C 三点,三点连线构成一直角 三角形,AB 边竖直,BC 边水平,D 点为 BC 边中点。一可视为质点的物体从 A 点水平抛出,轨迹经过 D 点,与 AC 交于 E 点。若物体从 A 运动到 E 的时间为 1t ,从 E 运动到 D 的时间为 2t ,则 1t : 2t 为( ) A.1:1 B.1:2 C.2:3 D.1:3 【答案】A 【详解】 设∠C=θ,∠ADB=α,由几何关系知 tanα=2tanθ 物体初速度为 v0,根据平抛运动规律,质点由 A 到 E,有 2 1 0 1 1 2tan gt v t   解得 0 1 2 tanvt g  同理质点由 A 到 D,有     2 1 2 0 1 2 1 2tan g t t v t t     解得 0 1 2 2 tanvt t g   故质点由 E 到 D 的时间 0 0 2 1 2 tan 2 tanv vt tg g     所以 t1:t2=1:1 故选 A。 3.(2021·辽宁朝阳市·高三月考)2021 年 1 月 12 日,滑雪战队在崇礼国家越野滑雪中心进行越野滑雪训练。 如图所示,整个滑雪轨道在同一竖直平面内,弯曲滑道 OA 与倾斜长直滑道平滑衔接,某运动员从高为 H 的 O 点由静止滑下,到达 A 点水平飞出后落到长直滑道上的 B 点,不计滑动过程的摩擦和空气阻力, 设长直滑道足够长,若弯曲滑道 OA 的高 H 加倍,则( ) A.运动员在 A 点水平飞出的速度加倍 B.运动员在 A 点飞出后在空中运动的时间加倍 C.运动员落到长直滑道上的速度大小不变 D.运动员落到长直滑道上的速度方向不变 【答案】D 【详解】 A.根据 21 2mgH mv 可得运动员水平飞出的速度 2v gH ,若 H 加倍,则水平飞出的速度 v 变为 2 倍,A 错误; B.运动员从 A 点飞出后做平抛运动,则 21 2tan 2 gt gt vt v    解得 2 tant g   ,若 H 加倍,则在空中运动的时间 t 变为 2 倍,B 错误; CD.运动员落到斜面上的速度方向与水平方向夹角 的正切值是位移方向与水平方向夹角 正切值的 2 倍,若 H 加倍,则运动员落到斜面上的速度方向不变,大小为 cos vv    , 不变,若 H 加倍,则运 动员落到斜面上的速度大小变为 2 倍,C 错误,D 正确。 故选 D。 4.(2021·江西吉安市·高三月考)有一条小河,两岸平行,河水匀速流动的速度为 v0,小船在静水中速度 大小始终为 v,且 v>v0。若小船以最短位移过河所用的时间为 t,若小船以最短时间过河,所用的时间为 3 2 t,则河水流速与小船在静水中的速度之比为( ) A. 0 1 2 v v  B. 0 3 2 v v  C. 0 3 4 v v  D. 0 2 2 v v  【答案】A 【详解】 设水流动的速度为 0v ,小船在静水中的运动速度大小为 v,当船以最短时间过河时,则有 3 2 dt v  以最短位移过河则有 2 2 0 dt v v   解得 0 1 2 v v  选项 A 正确。 故选 A。 5.(2021·广西河池市·高三期末)如图所示,长木板倾斜放置,倾角为 30°,一个小球在板的上端以大小为 v0 的初速度水平抛出,结果小球恰好落在长木板的底端。若将板的倾角改为 45°,要使小球从板的上端 水平抛出,后也恰好能落在板的底端,则抛出的初速度大小为( ) A. 0 6 3 v B. 0 3 2 3 v C. 0 3 2 2 v D. 0 6 2 7 v 【答案】B 【详解】 设板长为 L,当倾角为 30°时 2 1 0 1 1 1 2 2 3 2 L gt L v t   当倾角为 45时 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 L gt L v t   解得 1 0 3 2 3v v 故选 B。 6.(2021·山东高三专题练习)一轻杆一端固定质量为 m 的小球,以另一端 O 为圆心,使小球在竖直面内 做半径为 R 的圆周运动,如图所示,则下列说法正确的是( ) A.小球过最高点时,杆所受到的弹力可以等于零 B.小球过最高点的最小速度是 gR C.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D.小球过最高点时,杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】A 【详解】 AB.轻杆可对小球产生向上的支持力,小球经过最高点的速度可以为零,当小球过最高点的速度 v= gR 时,杆所受的弹力等于零,A 正确,B 错误; CD.若 v< gR ,则杆在最高点对小球的弹力竖直向上 mg-F=m 2v R 随 v 增大,F 减小; 若 v> gR ,则杆在最高点对小球的弹力竖直向下 mg+F=m 2v R 随 v 增大,F 增大,故 CD 均错误。 故选 A。 7.(2021·山东高三专题练习)如图所示,半圆形光滑圆环,竖直放置,环绕 y 轴以恒定角速度 转动,一 小球套在环上,若小球可在环上任意位置相对环静止,圆的方程为 2 2 2 (x y a a  为常量),则下列 的 值正确的是( ) A. g ax B. g ay C. g y D. g x 【答案】C 【详解】 设环与O 的连线与竖直方向之间的夹角为 ,小球转动的半径为 sinr a x  小球所受的合力垂直指向转轴,根据平行四边形定则 2tanF mg mx  合 其中 tan x y   联立可得 g y   故 C 正确,ABD 错误。 故选 C。 8.(2021·安徽高三期末)随着嫦娥五号完美收官,中国计划后续发射载人登月。假设你有幸成为载人登月 的航天员,在月表附近,绕月做匀速圆周运动的轨道舱内做了如下实验:长为 L 的细绳一端固定在转轴 O 处,一端系质量为 m 的木块(可视为质点),某时刻细绳恰好伸直且与 AB 连线成 角,通过击打使 木块获得在纸面内垂直于 AB 连线向左的速度 v0,下列说法正确的是( ) A.木块获得速度后,以 O 点为圆心,做匀速圆周运动 B.木块过 A 点时,绳的拉力为 2 2 0 cosmv L  C.木块在整个运动过程中机械能守恒 D.木块从获得速度到第一次回到被击打位置所需的时间为 0 2 L v  【答案】B 【详解】 ABC.由于航天器处于完全失重状态,木块被击打后获得速度,做匀速直线运动,到左边对称点细绳拉 直时有速度损失,保留的切线速度为 0 cosv  ,木块的机械能减小,之后以该速度做匀速圆周运动。木 块过 A 点时,绳的拉力为 2 2 0 cosmvT L  可知 AC 错误,B 项正确。 D.木块从获得速度后到第一次回到被击打位置并不是做匀速圆周运动,则所需的时间不等于 0 2 L v  ,选 项 D 错误。 故选 B。 9.(2021·全国高三专题练习)如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用细线相连的质量相 等的两个物体 A 和 B,它们与盘间的动摩擦因数相同,当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时,烧 断细线,两个物体的运动情况是( ) A.物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动 B.物体 A 发生滑动,离圆盘圆心越来越近 C.两物体仍随圆盘一起做圆周运动,不发生滑动 D.两物体均沿半径方向滑动,离圆盘圆心越来越远 【答案】A 【详解】 当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时,A 物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心 力做匀速圆周运动,所以烧断细线后,A 所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力, A 要发生相对滑动,离圆盘圆心越来越远,但是 B 所需要的向心力小于 B 的最大静摩擦力,所以 B 仍 保持相对圆盘静止状态。 故选 A。 10.(2021·江苏南通市·高三期末)如图所示,OO′为竖直固定转轴,足够长的光滑轻杆用铰链固定于转轴 O 点,杆与竖直方向的夹角为 。轻质弹簧套在杆上,下端固定于 O 点,上端系住小球 A(A 套在杆上), 弹簧原长为 l。现使杆随转轴 OO′转动,角速度 从零开始缓慢增大,下列说法正确的是( ) A.杆对小球的弹力不变 B.弹簧对小球的弹力减小 C.当 2 cos sin g l   时,弹簧对小球的弹力大小恰好为零 D.小球的转动平面缓慢升高,杆对小球做的功等于小球机械能的增加量 【答案】C 【详解】 ABC.对小球受力分析,由牛顿第二定律可知 水平方向上有 FNcosθ+F 弹 sinθ=mω2r 竖直方向上有 FNsinθ+ F 弹 cosθ=mg 则当角速度 从零开始缓慢增大时,小球转动的平面逐渐升高,转动半径变大,弹簧的弹力 F 弹先减小 后增加,杆对小球的弹力 FN 也将发生变化;当弹簧对小球的弹力大小 F 弹恰好为零时,此时转动半径 r=lsinθ 解得 2 cos sin g l   选项 C 正确; D.由能量关系可知,小球的转动平面缓慢升高,杆对小球做的功与弹簧对球作用之和等于小球机械能 的增加量,选项 D 错误。 故选 C。 11.(2021·安徽池州市·高三期末)从 A、B 两点分别以大小为 v1、v2 的水平速度相向抛出小球结果两个小 球落在地面上的同一点且两球落地时的速度方向互相垂直,两球抛出点到落地点的水平距离相等,重力 加速度为 g,不计空气风力,则两球抛出点间的水平距离为( ) A. 1 2v v g B. 1 22v v g C. 2 1 2v v g g  D. 2 2 1 22 ( )2 v v g g  【答案】B 【详解】 设水平位移为 x ,A 球 1 1x v t 1 1 tan v gt   得到 2 1tan v gx   同理对于 B 球 2 2tan v gx   由于 tan tan 1   因此有 1 2v vx g  两球抛出点间的水平距离为 1 222 v vs x g   故选 B。 12.(2021·安徽高三专题练习)如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴 1OO 以恒定的角速度 转动,圆筒的半 径 1.5mr 。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为 3 2 (设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为 60,重力加速度 g 取 210m/s ,则 的最小 值是( ) A.1rad/s B. 30 rad/s3 C.10rad/s D.5rad/s 【答案】C 【详解】 当物块在轨迹的最高点时,受到重力、支持力和摩擦力,如图 其中沿桶壁的方向 sin 60Nf F mg   垂直于桶壁的方向 2cos60NF mg m r   联立可得 = 10rad/s 故 C 正确;ABD 错误; 故选 C。 13.(2021·安徽高三专题练习)如图所示,在竖直的墙壁正前方有一个点 D ,点 D 到墙壁的水平距离是 d , 从 D 点以不同的初速度水平抛出一个小球(视为质点),每次都可以击中墙壁,如果要想使小球以最小 的动能击中墙壁,则平抛小球的初速度是( ) A. 1 2 gd B. gd C. 2gd D. 2 gd 【答案】B 【详解】 如图所示,根据平抛运动的规律可得 2 2 0 0 0 1 2tan 2tan 2 gt gt gd v t v v       2 2 2 2 0 0 0( tan )yv v v v v     联立解得 2 2 0 0 ( )gdv v v   当 2 2 0 0 ( )gdv v  时,即 0v gd 时 v 有最小值,故 B 正确;ACD 错误; 故选 B。 14.(2021·安徽高三专题练习)物块静止放在一个长为 L=1m 的水平传送带上,传送带 0 2m/sv  ,物块与 传送带间动摩擦因数 0.25  。物块由传送带传送垂直落在了倾角 37   的斜面上, g 取 210m/s ,下 列说法正确的是( ) A.物块在传送带上运动了 0.8s B.下落高度 H=0.32m C.物块由初始到落到斜面上的时间约为 1.17s D.物块在传送带上做匀加速直线运动 【答案】C 【详解】 AD.由牛顿第二定律可得 22.5m/sa g  由 2 0 2v ax 得 0.8mx  则 x L ,即物块在传送带上先匀加速后匀速。设物块做加速运动的时间为 1t ,则 0 1v at 解得 1 0.8st  对匀速运动的过程 2L x vt  解得 2 0.1st  则总时间 1 2 0.9st t t   故 A、D 错误; B.由于是垂直落到斜面上,则 0tan y   v v 解得 2.7m/syv  又 3yv gt 解得 3 0.27st  物块在竖直方向的位移 2 2 3 1 1 10 0.27 0.36m2 2H gt     故 B 错误; C.物块由初始到落到斜面上的时间约为 3 1.17st t t  总 故 C 正确。 故选 C。 15.(2021·安徽高三专题练习)如图所示,半圆槽 MABCN 在竖直面内, M 点、 N 点是半圆的水平直径 的两个端点,O 点是半圆圆心,OB 为竖直半径,A 、C 为半圆周上的两点,两点连线 AC 垂直平分 OB 。 现有三个小球 a 、b 、 c ,先从 M 点水平向右先后抛出 a 、b 两小球,两球依次落在 A 、 B 两点;再 从 P 点水平向右抛出 c 球 (P 是直径 MN 上的某一点),c 球恰好垂直圆周击中C 点,则下列说法中正确 的是( ) A. a 、 b 、 c 三球的下落时间之比为1: 2 :1 B. c 球抛出点 P 有可能与 M 点重合 C. a 、b 、 c 三球的平抛初速度之比为 (2 3) : 2 : 2 3 D. a 、 b 、 c 三球的机械能之比为 (7 4 3) : 2:12 【答案】C 【详解】 A.由题可知, abc 三个小球在竖直方向的位移之比为:1: 2 :1,由 21 2h gt 可知它们的时间之比为:1: 2 :1。故 A 错误; B.c 球恰好垂直圆周击中C 点,则速度的方向延长线经过O 点;由平抛运动的推论可知,抛出点到 C 之 间的水平距离等于O 到C 点水平距离的 2 倍,然后结合几何关系可知,P 点一定在 A 点的正上方。故 B 错误; C.A 、C 两点连线 AC 垂直平分 OB ,则 AO 与 CO 与竖直方向之间的夹角都是 60,所以 3AC R , 而 M 与 A 之间的水平距离为 3 2R R 设 a 与 c 运动的时间为 t ,则 b 运动的时间为 2t ,沿水平方向: 对 a 3 2 aR R v t  对 b · 2bR v t 对 c 3 cR v t 所以: : : (2 3): 2 :2 3a b cv v v   ,故 C 正确; D.由于没有选择合适的重力势能的 0 势能面,所以不能比较它们的机械能的大小关系,故 D 错误; 故选 C。 16.(2021·四川高三专题练习)如图所示,一根细线下端拴一个金属小球 Q,细线穿过小孔(小孔光滑) 另一端连接在金属块 P 上,P 始终静止在水平桌面上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀速圆 周运动(圆锥摆)。实际上,小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用。设因阻力作用,小球 P 的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)。下面的判断正确的是( ) A.Q 的位置越来越高 B.细线所受的拉力变小 C.小球 Q 运动的角速度变大 D.P 受到桌面的静摩擦力变大 【答案】B 【详解】 A.由于小球受到空气阻力作用,线速度减小,则所需要的向心力减小,小球做向心运动,Q 的位置越 来越低,故 A 错误; BC.设细线与竖直方向的夹角为θ,细线的拉力大小为 T,细线的长度为 L,Q 球做匀速圆周运动时, 由重力和细线的拉力的合力提供向心力,如图 则有 T cos mg  ,mgtanθ=m 2v Lsin  mω2Lsinθ 得 ω cos g L  由于小球受到空气阻力作用,线速度减小,θ减小,cosθ增大,则得到细线拉力 T 减小,角速度ω减小, 故 B 正确,C 错误; D.对 P 球,由平衡条件得知,P 受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力大小,则静摩擦力变小,故 D 错 误。 故选 B。 17.(2021·全国高三专题练习)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环 P 可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。 一根轻绳穿过 P,两端分别连接质量为 m1 和 m2 的小球 A、B(m1≠m2)。设两球同时做如图所示的圆锥 摆运动,且在任意时刻两球均在同一水平面内,则( ) A.两球运动的周期相等 B.两球的向心加速度大小相等 C.球 A、B 到 P 的距离之比等于 m2∶m1 D.球 A、B 到 P 的距离之比等于 m1∶m2 【答案】AC 【详解】 A.对其中一个小球受力分析,其受到重力和绳的拉力 FT,绳的拉力在竖直方向的分力与重力平衡,设 轻绳与竖直方向的夹角为θ,则有 cosTF mg= 拉力在水平方向上的分力提供向心力,设该小球到 P 的距离为 l,则有 2 2 4sin tan sinTF mg m lT   = = 解得周期为 cos2 2l hT g g    因为任意时刻两球均在同一水平面内,故两球运动的周期相等,选项 A 正确; CD.连接两球的绳的张力 FT 相等,由于向心力为 2sin sinn TF F m l    故 m 与 l 成反比,即 1 1 2 2 l m l m  选项 C 正确,D 错误; B.又小球的向心加速度 2 22tan ( ) tana h hT     θ不同,故向心加速度大小不相等,选项 B 错误。 故选 AC。 18.(2021·广东惠州市·高三月考)如图所示,为一种圆锥筒状转筒,左右各系着一长一短的绳子挂着相同 的小球,转筒静止时绳子平行圆锥面,当转筒中心轴开始缓慢加速转动,不计空气阻力,则下列说法正 确的是( ) A.角速度慢慢增大,一定是线长的那个球先离开圆锥筒 B.角速度达到一定值的时候两个球一定同时离开圆锥筒 C.两个球都离开圆锥筒后,它们一定高度相同 D.两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力一定相同 【答案】AC 【详解】 AB.设绳子与竖直方向的夹角为 ,小球刚好离开圆锥筒时,圆锥筒的支持力为 0,则有 2tan sinmg m l   解得 cos g l   则绳子越长的其角速度的临界值越小,越容易离开圆锥筒,所以 A 正确;B 错误; C.两个球都离开圆锥筒后,小球都只受重力与绳子的拉力,两小球都随圆锥筒一起转动,有相同的角 速度则有小球的高度为 cosh l  代入数据解得 2 gh  所以 C 正确; D.小球都离开圆锥筒时绳子的拉力为 cos mgT  由于绳子长度不同,则小球离开平台时的夹角也不同,所以拉力也不相同,则 D 错误; 故选 AC。 19.(2021·安徽高三专题练习)如图所示,竖直平面内固定的四分之一圆弧轨道 AP,圆弧轨道的圆心为 O, OA 水平,OP 竖直,半径为 R=2m。一质量为 m=1kg 的小物块从圆弧顶点 A 开始以 2m/s 的速度从 A 到 P 做匀速圆周运动,重力加速度 g=10m/s2,Q 为圆弧 AP 的一个三等分点(图中未画出),OA 与 OQ 的夹角为 30°,下列说法正确的是( ) A.在 Q 点时,重力的瞬时功率为 10 3 W B.在 A 到 P 的过程中合力对小物块的冲量为零 C.小物块在 AQ 段克服摩擦力做的功等于在 QP 段克服摩擦力做的功 D.在 P 点时,小物块对圆弧轨道的压力大小为 11.5N 【答案】AC 【详解】 A.在 Q 点时,重力方向与速度方向夹角为 30°,则重力的瞬时功率为 P=mgvcosθ=10 3 W 故 A 正确; B.在 A 到 P 的过程中小物块的速度方向不断改变,动量不断改变,所以合力对小物块的冲量不为零, 故 B 错误; C.小物块在 AQ 段重力做的功 W1=mgRsin30° 在 QP 段重力做到功 W2=mgR(1﹣sin30°) 可得 W1=W2 由小物块做匀速圆周运动和动能定理可知,小物块克服摩擦力做的功等于重力做的功,故 C 正确; D.在 P 点时,由牛顿第二定律 2vN mg m R   得到小物块对圆弧轨道的压力大小为 12N,故 D 错误; 故选 AC。 20.(2021·四川高三专题练习)如图所示,“旋转秋千”中座椅(可视为质点)通过轻质缆绳悬挂在旋转圆 盘上。当旋转圆盘以角速度ω匀速转动时,不计空气阻力,缆绳延长线与竖直中心轴相交于 O 点,夹角 为θ,O 点到座椅的竖直高度为 h,则当ω增大时( ) A.h 不变 B.θ增大 C.ω2h 不变 D.ω2h 增大 【答案】BC 【详解】 座椅在水平面内做匀速圆周运动,由重力和绳的拉力的合力提供向心力,如图 则有 mgtanθ=mω2r 由几何关系有 r=htanθ 整理得 ω2h=g 不变,则当ω增大时,h 减小,θ增大。 故选 BC。 查看更多

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