资料简介
第12章12.2复数的运算
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.掌握复数的四则运算.2.理解复数四则运算的运算律.3.能在复数集内解有关方程问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点1复数的加法与减法运算1.复数加法、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;z1-z2=(a+bi)-(c+di)=.2.复数加法的运算律对任何z1,z2,z3∈C,有交换律:z1+z2=;结合律:(z1+z2)+z3=.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)iz2+z1z1+(z2+z3)
过关自诊1.若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=.2.(5-5i)-3i=.答案1+2i解析z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.答案5-8i解析(5-5i)-3i=5-8i.
知识点2复数的乘法及其运算律1.复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=.2.复数乘法的运算律对任何z1,z2,z3∈C,有交换律z1z2=结合律(z1z2)z3=乘法对加法的分配律z1(z2+z3)=(ac-bd)+(bc+ad)iz2z1z1(z2z3)z1z2+z1z3
3.共轭复数我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为.复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数记作,即=a-bi.当复数z=a+bi的虚部b=0时,z=名师点睛(1)复数的乘法法则与多项式的乘法法则类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.(2)两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数.共轭复数
过关自诊1.(4-i)(3+2i)=.2.(-3+2i)2=.3.设z=i(2+i),则=.答案14+5i解析(4-i)(3+2i)=12+8i-3i+2=14+5i.答案5-12i解析(-3+2i)2=9-4-12i=5-12i.答案-1-2i解析z=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.
知识点3复数的除法
答案B
答案B
重难探究•能力素养全提升
探究点一复数的加法与减法运算(2)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.(2)解方法一设z=x+yi(x,y∈R),因为z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.方法二因为z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
规律方法复数加、减运算的方法技巧(1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行.(2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错.
变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=.(2)若(1-3i)+z=6+2i,则复数z=.答案(1)-2-4i(2)5+5i解析(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.
探究点二复数的乘法与除法运算【例2】计算下列各题:
规律方法1.复数乘法运算的技巧(1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.(2)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.(3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式=zmn(m,n∈Z)进行转化求解.
2.复数除法运算的技巧(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.
变式训练2计算下列各题:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);
探究点三i幂值的周期性及其应用【例3】计算下列各式的值:(1)i2016;(2)1+i+i2+…+i2016.解(1)i2016=i4×504=i4=1.(2)1+i+i2+…+i2016=(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+…+(i2012+i2013+i2014+i2015)+i2016=0×504+i2016=1.
规律方法利用i幂值的周期性解题的技巧(1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i.(2)对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
变式训练3A.3B.4C.8D.16答案B解析当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=3时,x=i6+i-6=-2,当n=4时,x=i8+i-8=2,因此A=,故A有4个子集.
探究点四在复数集内解方程问题【例4】在复数集C内解下列方程:(1)3z2+9=0;(2)z2-4z+8=0;(3)2z2+3z+5=0.
规律方法1.与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,其中根与系数的关系仍适用.
变式训练4已知z1,z2是实系数一元二次方程的两个虚数根,且z1,z2满足方程2z1+(1-i)z2=3+5i.(1)求z1和z2;(2)写出一个以z1和z2为根的实系数一元二次方程.
解(1)根据题意,设z1=a+bi,z2=a-bi,a,b∈R且b≠0,代入2z1+(1-i)z2=3+5i中,得2a+2bi+(1-i)(a-bi)=3+5i,整理得3a-b+(b-a)i=3+5i,(2)∵z1+z2=4+9i+4-9i=8,z1·z2=(4+9i)(4-9i)=97,∴以z1和z2为根的实系数一元二次方程为z2-8z+97=0.
学以致用•随堂检测全达标
1.若(-3a+bi)-(2b+ai)=3-5i,a,b∈R,则a+b=()答案B
2.若复数z满足(3-4i)z=5(1-i),其中i为虚数单位,则z的虚部为()答案C
3.m∈R,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为()A.1B.-1C.2D.-2答案A
4.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.答案2解析∵(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,其实部为0,∴a-2=0,∴a=2.
答案–I
本课结束
查看更多
