资料简介
第十章10.2.1复数的加法与减法
课标要求1.熟练掌握复数的加、减法运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义,能够通过直观想象去解题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1复数的加法与减法的运算法则1.复数的加、减法法则一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1+z2为z1与z2的,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.由复数和的定义可知,两个共轭复数的和一定是.一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的记作-z,并规定-z=-(a+bi)=-a-bi.复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=.一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=.和实数相反数z1+(-z2)(a-c)+(b-d)i
2.复数加法运算律复数的加法运算满足交换律与结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.名师点睛1.复数加(减)法的规定:实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减),两个复数的和(差)仍然是一个复数,复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减),即几个复数相加(减),只需把复数的所有实部相加(减),所有的虚部相加(减).2.若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),当b=d=0时,与实数的加减法一致.z2+z1z1+(z2+z3)
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)复数加法运算符合实数加法的运算律.()(2)复数与复数相加、减后结果只能是实数.()(3)一个复数减去另一个复数等于这个复数加上另一个复数的相反数.()√×√
2.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于()A.8iB.6C.6+8iD.6-8i3.已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2iBD
知识点2复数加法、减法的几何意义1.复数加法、减法的几何意义
2.性质由复数加法、减法的几何意义可以得出||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
过关自诊1.复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些?请举例说明.提示①设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,由复数减法的几何意义,可得复平面内两点间的距离公式d=|z1-z2|.②|z-z1|=r(r>0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,半径为r的圆.③|z-z1|=|z-z2|,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.
答案B
答案-1-7i
重难探究•能力素养全提升
探究点一复数的加法、减法运算【例1】计算:(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i);(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i);(3)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a,b∈R).解(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i.(2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i.(3)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.
规律方法复数的加法、减法运算(1)复数的加法、减法运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚部与虚部合并,注意符号是易错点;(2)复数的加法、减法运算的结果仍是复数;(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算;(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.
变式训练1计算:
探究点二复数加法、减法运算的几何意义【例2】已知平行四边形ABCD的顶点A,B,D对应的复数分别为1+i,4+3i,-1+3i.试求:
规律方法向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减起点对应的复数).
变式训练2在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i.
探究点三复数模的最值问题【例3】(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是()(1)答案解析设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,所以点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1,所以|z+i+1|min=1.
(2)解如图所示,
规律方法1.|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面内对应的点Z1与Z2之间的距离.在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式.2.涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
变式探究已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.解因为|z|=1且z∈C,作图如下:所以|z-2-2i|的几何意义为圆心在原点的单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2-1.
变式训练3设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值.
素养培优|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是将模长问题转化为距离问题,将看上去抽象的有关复数模的表达式,转化为直观形象的图形问题,体现了“数学探索”的核心素养.
【典例】已知z∈C,指出下列等式所表示的几何图形:(1)|z+1+i|=1;(2)|z-1|=|z+2i|.解(1)表示以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.(2)以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.
规律方法1.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义设复数z,z0在复平面内分别对应点A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离.2.|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用(1)判断点的集合.(2)利用几何知识解决代数问题.
学以致用•随堂检测全达标
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4答案B解析z=1-(3-4i)=-2+4i,z的虚部是4,故选B.
2.已知复数z满足z-2i=1(其中i为虚数单位),则|z|=()答案D解析由z-2i=1,得z=1+2i,
3.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x=,y=.答案611解析x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,
4.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是.
5.计算:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);(3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.解(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=-7i+5-9+8i+3-2i=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
本课结束
查看更多
