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第十章10.1.2复数的几何意义
课标要求1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.4.理解共轭复数的概念.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1复平面的概念和复数的几何意义1.复平面的概念如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为.复平面实轴虚轴
2.复数的几何意义一方面,根据复数相等的定义,复数z=a+bi(a,b∈R)被它的实部与虚部唯一确定,即复数z被有序实数对(a,b)唯一确定;另一方面,有序实数对(a,b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔点.这是复数的一种几何意义.复数还有另外一种几何意义:因为平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量,所以复数也可用向量来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi↔向量.Z(a,b)
如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
名师点睛1.复数z=a+bi(a,b∈R)可用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).2.为了方便,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成点Z(a,b)或说成向量,并且规定相等向量表示同一复数.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.()(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.()2.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限√×答案C解析z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限.
3.复数z=i在复平面内对应的点的坐标为()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)4.向量a=(1,-2)所对应的复数是()A.z=1+2iB.z=1-2iC.z=-1+2iD.z=-2+iAB
知识点2共轭复数、复数的模1.共轭复数一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有=.显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.互为相反数a-bi实轴
结论:(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.(2)任一实数的共轭复数是其本身,反之,若z=,则z∈R.(3)复数的共轭复数的共轭复数是它本身,即=z.
2.复数的模模绝对值|a|
如图所示,向量的模r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模,由模的定义可知:|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R),即复数z的模为非负实数.计算复数的模时,应先找出复数的实部与虚部,然后代入公式计算.一般地,两个共轭复数的模相等,即.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.()(2)若z1,z2∈C,且z1+z2=0,则z1=z2=0.()2.复数的模的几何意义是什么?××提示复数z在复平面内对应的点为Z,复数z0在复平面内对应的点为Z0,r表示一个大于0的常数,则:①满足条件|z|=r的点Z的集合为以原点为圆心,r为半径的圆,|z|r表示圆的外部;②满足条件|z-z0|=r的点Z的集合为以Z0为圆心,r为半径的圆,|z-z0|r表示圆的外部.
3.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为()A.1或3B.1C.3D.2答案A解得m=1或3,故选A.
4.在复平面内,复数z的对应点为(1,-1),则=.答案1+i解析由题可知复数z的对应点为(1,-1),则z=1-i,所以=1+i.
重难探究•能力素养全提升
探究点一复数与点的对应【例1】已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).(1)在实轴上;(2)在第三象限;(3)在直线y=x上.解复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1,2a-1).(1)若z对应的点在实轴上,则有2a-1=0,解得a=.
(3)若z对应的点在直线y=x上,则有2a-1=a2-1,解得a=0或a=2.
【例2】试确定在复平面内,满足下列条件的复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点的集合分别是什么图形.(1)y=2;(2)1≤x≤4;(3)x=y;(4)|z|≤5.解(1)复数z对应点的坐标是(x,y),而y=2,所以点的集合是一条与实轴平行的直线.(2)复数对应的点为(x,y),而1≤x≤4,所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线).(3)复数对应的点是(x,y),而x=y,所以点的集合是一条直线,它是复平面的第一、三象限的平分线.(4)复数对应的点是(x,y),而|z|≤5的集合是一个以原点为圆心,半径等于5的圆的内部,包含圆的边界.
规律方法1.确定复数在复平面内对应的点的位置时,关键是理解好复数与该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程或不等式求解.2.确定复数对应点的集合的图形时,首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系,再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状.
变式探究在复平面内,将复数改为“z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i”,对应点满足:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上.分别求实数m的值或取值范围.
解复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.(1)由题意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.∴-1
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