资料简介
第十一章11.3.2直线与平面平行
课标要求1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线面平行的相关定理和性质.2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的相关平行问题.
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
知识点1直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示如果的一条直线与的一条直线,那么这条直线与这个平面平行如果l⊄α,m⊂α,l∥m,则l∥α名师点睛1.应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备,缺一不可.2.线面平行的判定定理体现了数学化归思想,即将判断线面平行转化为判断线线平行.平面外平面内平行
过关自诊1.若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行吗?提示当直线在平面内时该结论错误.
2.如下图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,①与直线CD平行的平面是;②与直线CC'平行的平面是;③与直线BC平行的平面是.提示①平面A'B'C'D',平面A'ABB'②平面A'ABB',平面A'ADD'③平面A'ADD',平面A'B'C'D‘
知识点2直线与平面平行的性质定理语言叙述如果一条直线与一个平面平行,且经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与两平面的平行符号表示如果l∥α,l⊂β,α∩β=m,则l∥m图形表示交线
名师点睛1.性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法.应用时,需经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交,以平面为媒介证明线线平行;2.定理中三个条件:(1)a∥α;(2)α∩β=b;(3)a⊂β.三者缺一不可.
过关自诊1.若直线a∥平面α,则直线a平行于平面α内的任意一条直线吗?2.若直线a与平面α不平行,则直线a就与平面α内的任一直线都不平行,对吗?提示不对.如在正方体ABCD-A1B1C1D1中(图略),AB∥平面A1B1C1D1,但AB与A1D1不平行.提示不对.若直线a与平面α不平行,则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时,α内有无数条直线与直线a平行.
3.如果直线a∥平面α,b⊂α,那么a与b的关系是()A.相交B.平行或异面C.平行D.异面BC4.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有()A.0条B.1条C.0或1条D.无数条
重难探究•能力素养全提升
探究点一直线与平面平行的判定【例1】S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且.求证:MN∥平面SBC.
规律方法1.判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作).(2)判定定理法:若a⊄α,b⊂α,a∥b,则a∥α.(3)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.2.证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质.(2)利用平行四边形的性质.(3)利用平行线分线段成比例定理.
变式训练1在四面体A-BCD中,M,N分别是△ABD和△BCD的重心,求证:MN∥平面ADC.证明如图所示,连接BM,BN并延长,分别交AD,DC于P,Q两点,连接PQ.因为M,N分别是△ABD和△BCD的重心,所以BM∶MP=BN∶NQ=2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC,PQ⊂平面ADC,所以MN∥平面ADC.
探究点二直线与平面平行的性质定理的应用【例2】(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,若CM∶MA=1∶4,则CN∶NP=,MN与平面PAB的位置关系是.(2)如图,已知AB与CD是异面直线,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H.求证:四边形EFGH是平行四边形.
(1)答案1∶4MN∥平面PAB解析由MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA,∴CN∶NP=CM∶MA=1∶4,又PA⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,∴MN∥平面PAB.(2)证明因为AB∥平面α,AB⊂平面ABC,平面ABC∩平面α=EH,所以AB∥EH.因为AB∥平面α,AB⊂平面ABD,平面ABD∩平面α=FG,所以AB∥FG,所以EH∥FG,同理由CD∥平面α,可证EF∥GH,所以四边形EFGH是平行四边形.
变式探究例2(2)中若添加条件AB=CD,能否得出四边形EFGH为菱形?因为AB=CD,所以要得到EH=EF,需CE=AE,由题意知CE=AE不一定成立,所以由AB=CD不能得出四边形EFGH为菱形.
探究点三线面平行性质定理在探索性问题中的应用【例3】如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.
证明直线l∥平面PAC,证明如下:因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以l∥平面PAC.
规律方法解答与平行有关的探索性题目的方法与步骤(1)有中点这一条件时,一般试探性地以中点为基础作辅助线或面,然后再证明是否满足条件.(2)关于平行的性质定理是作证明和计算的理论依据.(3)一般步骤:取点、连线、成形→探索论证→计算(作答).
变式训练2如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D1为线段A1C1上的点.当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?
解当D1为线段A1C1的中点,即=1时,BC1∥平面AB1D1.连接A1B交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,∴点O为A1B的中点.在△A1BC1中,O,D1分别为线段A1B,A1C1的中点,∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1.故当=1时,BC1∥平面AB1D1.
素养培优“三找”——证线面平行平面外的直线简称为“外线”,平面内的直线简称为“内线”,当内、外线有困难时可找“中点”.【角度一】判断线面平行——找外线【典例1】如图,棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.试判断直线CD与平面EFGH之间的关系.
解因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥GH.又GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD.而平面ACD∩平面BCD=CD,EF⊂平面ACD,所以EF∥CD.而EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,所以CD∥平面EFGH.
【角度二】证明线面平行——找内线【典例2】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,AC的中点.求证:MN∥平面BCD1A1.
证明(方法一)如图,连接A1C,M,N分别是AA1,AC的中点,所以MN∥A1C.又因为MN⊄平面BCD1A1,A1C⊂平面BCD1A1,所以MN∥平面BCD1A1.
(方法二)如图,分别取A1B,BC的中点P,Q,连接PQ,PM,NQ,则PM,NQ分别是△A1BA和△CBA的中位线,所以PM∥AB,QN∥AB,且PM=AB,QN=AB,所以PM∥QN且PM=QN,所以四边形PMNQ是平行四边形,所以PQ∥MN.又因为MN⊄平面BCD1A1,PQ⊂平面BCD1A1,所以MN∥平面BCD1A1.规律方法常用方法:利用三角形中位线;利用平行四边形的性质;利用平行线的传递性;利用平行线分线段成比例的推论;利用线面平行的性质定理.
【角度三】确定内、外线有困难时——找中点【典例3】如图,已知正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC'.试判断点D在AA'上的位置,并给出证明.
解D为AA'的中点.证明如下:取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC'交于点O,连接DO,易证A'EAF.所以点A',E,F,A共面.因为A'E∥平面DBC',A'E⊂平面A'EFA,且平面DBC'∩平面A'EFA=DO,所以A'E∥DO.在平行四边形A'EFA中,因为O是EF的中点(因为EC'∥BF,且EC'=BF),所以D为AA'的中点.
学以致用•随堂检测全达标
1.已知直线l∥平面α,l⊂平面β,α∩β=m,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.相交或异面B
2.直线l是平面α外的一条直线,下列条件中可能推出l∥α的是()A.l与α内的一条直线不相交B.l与α内的两条直线不相交C.l与α内的无数条直线不相交D.l与α内的任意一条直线不相交答案D解析由线面平行的定义知直线l与平面α无公共点,则l与α内的任意一条直线不相交.
3.(多选题)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是()A.E,F,G,H一定是各边的中点B.G,H一定是CD,DA的中点C.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GCD.四边形EFGH是平行四边形或梯形答案CD解析由于BD∥平面EFGH,所以由线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,四边形EFGH是平行四边形或梯形.
4.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=.解析由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,所以α∩β=EF.因为a∥平面α,a⊂平面β,所以EF∥a.
5.如图,在三棱锥P-ABC中,O,D分别是AC,PC的中点.求证:OD∥平面PAB.证明在△ACP中,∵O为AC的中点,D为PC的中点,∴OD∥AP.∵OD⊄平面PAB,AP⊂平面PAB,∴OD∥平面PAB.
本课结束
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