资料简介
第六章6.1.1向量的概念
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标阐释1.理解向量的有关概念及向量的表示方法.2.理解共线向量、相等向量的概念.3.正确区分向量平行与直线平行.4.能够正确理解向量的含义及相关概念并解决相应的问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点1向量的概念及表示1.向量概念既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)表示用有向线段来直观地表示向量,其中有向线段的长度表示向量的大小,有向线段箭头所指的方向表示向量的方向.通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点(或起点),带箭头的端点称为向量的终点.有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向.始点为A终点为B的有向线段表示的向量,可以用符号简记为,此时向量的大小用||表示代数表示印刷时,通常用加粗的斜体小写字母来表示向量,书写时,用带箭头的小写字母来表示向量2.标量只有大小的量称为标量.例如,长度、面积等.
名师点睛1.向量与标量的辨析向量与标量的区别:向量有方向,而标量没有方向;标量与标量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小.2.有向线段与向量的区别和联系区别从定义上看,向量有大小和方向两个要素,而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此,这是两个不同的量.在空间中,有向线段是固定的线段,而向量是可以自由平移的联系有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应着无数多条有向线段
过关自诊1.位移与距离(路程)有怎样的区别?提示位移只与质点的起(始)点和终点的位置有关,与其实际运动的路线无关;而路程与它行走的路线有关.2.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中不是向量的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析②③④⑤既有大小,又有方向,是向量;①⑥⑦只有大小,没有方向,不是向量.
知识点2与向量有关的概念名称定义记法向量的模(或长度)向量的大小称为向量的模(或长度)|a|零向量始点和终点相同的向量0单位向量模等于1的向量—相等向量大小相等、方向相同的向量a=b向量共线或平行两个非零向量的方向相同或相反规定:零向量与任意向量平行a∥b0∥a
名师点睛1.对0、单位向量的理解(1)若用有向线段表示零向量,则其终点与始点重合.(2)要注意0与0的区别与联系:0是一个实数,0是一个向量,且有|0|=0;书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.(3)单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.(4)在平面内,将所有单位向量的始点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
2.对向量平行的理解(1)向量平行(共线)时,向量所在的直线平行或重合.(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同模相等;方向相同模不等;方向相反模相等;方向相反模不等.(3)任一向量a都与它本身是平行向量.
过关自诊1.若a=b,则两向量在大小与方向上有何关系?提示若a=b,意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.2.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同.()(2)任意两个单位向量都相等.()×××
3.A.相等的向量B.平行的向量C.有相同起点的向量D.模相等的向量答案D
重难探究•能力素养全提升
探究点一向量的有关概念【例1】有下列说法:①若向量a与向量b不平行,则a与b方向一定不相同;③若|a|=|b|,则a,b的长度相等且方向相同或相反;④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行.其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.4
答案A解析对于①,由共线向量的定义,知两向量不平行,方向一定不相同,故①正确;对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a|=|b|,只能说明a,b的长度相等,确定不了它们的方向,故③错误;对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误.规律方法1.判断两个向量相等应从两个方面入手:(1)是否大小相等;(2)是否方向相同.2.零向量和单位向量(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.(2)两个单位向量不一定相等,因为它们的方向不一定相同.
变式训练1给出下列命题:①两个向量,当且仅当它们的起点相同、终点也相同时才相等;②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点,则其终点在同一个圆上;④若a=b,b=c,则a=c.其中所有真命题的序号为.
答案②③④解析两个向量相等只要模相等且方向相同即可,而与起点和终点的位置无关,故①不正确.单位向量的长度为1,当所有单位向量的起点在同一点O时,终点都在以O为圆心,1为半径的圆上,故②正确.③④显然正确.故所有真命题的序号为②③④.
探究点二向量的表示及应用【例2】(1)如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,可以写出个向量.(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
规律方法向量的两种表示方法(1)几何表示法:先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法:为了便于运算可用字母a,b,c表示,为了联系平面几何中的图形性质,可用表示向量的有向线段的起点与终点的字母表示向量,如
变式训练2一架飞机从点A向西北方向飞行200km到达点B,再从点B向正东方向飞行100km到达点C,再从点C向正东方向飞行100km到达点D,求飞机从点D飞回点A的位移.
探究点三相等向量与共线向量
规律方法(1)寻找相等向量要把握住向量的两要素:大小和方向,相等向量必须二者都相同才成立.同时,向量是可以平移的,相等向量的起点并不一定要相同.(2)对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素,与向量的模大小无关,故寻找非零共线向量时,只需判断两向量所在的直线是否平行或重合.
变式训练3设点O为正八边形ABCDEFGH的中心,如图,以图中字母为始点或终点,分别写出:
学以致用•随堂检测全达标
1.下列说法正确的是()A.若|a|=|b|,则a=bB.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量D.共线向量是在同一条直线上的向量答案B解析|a|=|b|仅表示a与b的大小相等,但是方向不确定,故a=b未必成立,所以A错误;根据零向量的定义可判断B正确;长度相等的向量方向不一定相同,故C错误;共线向量不一定在同一条直线上,故D错误.故选B.
2.下列结论正确的是()A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行答案C
3.某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100米,则此人位移的方向是()A.南偏东60°B.南偏东45°C.南偏东30°D.南偏东15°答案C
答案2
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