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人教B版数学高中必修第二册课件6.2.1 向量基本定理

2022-11-22
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第六章6.2.1向量基本定理内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标课标要求1.掌握共线向量基本定理,并会简单应用.2.理解平面向量基本定理,会用基底表示平面内任一向量.3.能够灵活应用向量基本定理解决平面几何问题. 基础落实•必备知识全过关知识点1共线向量基本定理1.共线向量基本定理如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa.在共线向量基本定理中:(1)b=λa时,通常称为b能用a表示.(2)其中的“唯一”指的是,如果还有b=μa,则有λ=μ.这是因为:由λa=μa可知(λ-μ)a=0,如果λ-μ≠0,则a=0,与已知矛盾,所以λ-μ=0,即λ=μ. 名师点睛对共线向量基本定理的理解(1)共线向量基本定理中条件“a≠0”必不可少,这是因为如果a=0,则一定有b与a共线(零向量与任意向量共线),此时b有两种情况:①b=0;②b≠0.若b=0,此时b=λa中的λ有无数个;若b≠0,此时不存在λ使得b=λa成立.这两种情况违背λ“存在且唯一”的特点.(2)由共线向量基本定理还能得到一个重要的结论:若两个向量a,b不共线,而λa=μb,则说明λ=μ=0.2.三点共线的充要条件如果A,B,C是三个不同的点,则它们共线的充要条件是:存在实数λ,使得过关自诊1.(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ使b=λa.()(2)若b=λa,则a与b共线(其中λ为实数).()×√2.若|a|=5,b与a方向相反,且|b|=7,则a=b. 知识点2平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=xa+yb. 名师点睛对平面向量基本定理的理解(1)由共线向量基本定理可知,任意向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,平面向量基本定理是共线向量基本定理从一维到二维的推广.(2)平面向量基本定理包括两个方面的内容,一是存在性,二是唯一性.唯一性是指如果c=xa+yb=μa+vb,那么x=μ且y=v.(3)当a与b不共线时,xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0. 2.基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a,b},常称为该平面上向量的一组基底,此时如果c=xa+yb,则称xa+yb为c在基底{a,b}下的分解式.名师点睛对基底的理解(1)由平面向量基本定理知,平面内的任一向量都可用基底表示出来.因而可以“统一”各向量,便于研究向量问题.(2)基底不唯一,同一平面可以有不同的基底,且组成基底的向量不能共线(零向量不可以作为基底中的向量).同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. 过关自诊1.(1)平面向量基本定理中的“不共线”能否去掉?提示不能,两个共线向量不能表示平面内的任意向量,不能做基底.(2)平面内的每一个向量都能用不共线的两个向量唯一表示吗?提示是的,在平面内任一向量都可以用两个确定的不共线的向量线性表示,且这样的表示是唯一的. 2.若{e1,e2}是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A.{e1-e2,e2-e1}C.{2e2-3e1,6e1-4e2}D.{e1+e2,e1-e2}答案D解析e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面向量的基底,另外三组向量都共线,不能作为基底. 重难探究•能力素养全提升探究点一向量共线问题规律方法利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值. 探究点二用基底表示向量规律方法用基底来表示向量主要有以下两种类型(1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解.(2)若直接利用基底表示比较困难,可采用方程思想求解. 探究点三平面向量基本定理的应用【例3】如图所示,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD交于点E.求证:E为线段BD的一个三等分点. 规律方法用向量解决平面几何问题的一般步骤(1)选取不共线的两个平面向量作为基底;(2)将相关的向量用基底表示,将几何问题转化为向量问题;(3)利用向量知识进行向量运算,得到向量问题的解;(4)将向量问题的解转化为平面几何问题的解. 学以致用•随堂检测全达标答案C 答案BC 答案①②③ 本课结束查看更多

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