资料简介
第一章1.2.3充分条件、必要条件
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.理解充分条件、必要条件的意义.2.理解充分不必要、必要不充分和充要条件的意义.3.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法.4.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的简单应用.
基础落实•必备知识全过关
知识点1充分条件与必要条件命题真假“如果p,那么q”为真命题“如果p,那么q”是假命题推出关系由p可以推出q,记作p⇒q由p推不出q,记作pq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件
名师点睛1.在逻辑推理中“p⇒q”的几种说法(1)“如果p,那么q”为真命题.(2)p是q的充分条件.(3)q是p的必要条件.(4)p的必要条件是q.(5)q的充分条件是p.这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已.
2.对充分条件的理解(1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立.(2)只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立,例如x=6⇒x2=36,但是,当x≠6时,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.3.对必要条件的理解(1)必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.(2)“p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q.
过关自诊1.下列命题中是真命题的是()①“x>3”是“x>4”的必要条件;②“x=1”是“x2=1”的必要条件;③“a=0”是“ab=0”的必要条件.A.①②B.②③C.②D.①答案D解析x>4⇒x>3,故①是真命题;x=1⇒x2=1,x2=1x=1,故②是假命题;a=0⇒ab=0,ab=0a=0,故③是假命题.
2.用“⇒”或“”填空.(1)a,b都是偶数a+b是偶数;(2)a+b是偶数a,b都是偶数;(3)A∩B=⌀A=⌀;(4)Rt△ABC中,∠A=30°边BC长等于斜边长的一半.答案(1)⇒(2)(3)(4)⇒
知识点2充要条件如果p⇒q且q⇒p,则称p是q的充分必要条件(简称充要条件),记作p⇔q.p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.名师点睛1.对充要条件的两点说明(1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.(2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件.
2.常见的四种条件与命题真假的关系如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形:命题“若p,则q”命题“若q,则p”p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件
过关自诊1.“x=0”是“x2=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件答案D解析因为x=0时,x2=0,当x2=0时,x=0,所以“x=0”是“x2=0”的充要条件.
2.用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么?提示(1)判定“若p,则q”的真假.(2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.(3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
重难探究•能力素养全提升
探究点一充分条件、必要条件的判断【例1】判断下列各题中,p是不是q的充分条件:(1)p:a∈Q,q:a∈R.(2)p:a1.(4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.分析逐个判断“若p,则q”是否为真命题.
解(1)由于Q⫋R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件.(3)由x>1可以推出x2>1.因此p⇒q,所以p是q的充分条件.(4)设A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},则B⫋A.因此pq,所以p不是q的充分条件.
【例2】判断下列各题中,q是不是p的必要条件:(1)p:|x|=|y|,q:x=y.(2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.(3)p:x=1,q:x-1=.(4)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.分析逐个判断“若p,则q”是否为真命题.
解(1)若|x|=|y|,则x=y或x=-y,因此pq,所以q不是p的必要条件.(2)直角三角形不一定是等腰三角形.因此pq,所以q不是p的必要条件.(3)当x=1时,x-1==0,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.(4)设A=[-2,5],B=[-1,5],则B⫋A,所以pq,所以q不是p的必要条件.
规律方法充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.(2)命题判断法:①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
变式训练1对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是()A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件
答案B
探究点二充分不必要条件、必要不充分条件的判断分析从集合观点“小范围大范围”进行理解判断→注意特殊值的使用
答案(1)充分不必要(2)既不充分也不必要
规律方法充分不必要条件、必要不充分条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件,实际上是判断“若p,则q”和“若q,则p”的真假,若“若p,则q”为真,“若q,则p”为假,则p为q的充分不必要条件;若“若p,则q”为假,“若q,则p”为真,则p为q的必要不充分条件;若“若p,则q”为真,“若q,则p”为真,则p为q的充要条件;若“若p,则q”,“若q,则p”均为假,则p为q的既不充分也不必要条件.(2)在判断时注意反例法的应用.
变式训练2判断下列各题中,p是否为q的充要条件:(1)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;(2)p:|x|>3,q:x2>9.解(1)若a2+b2=0,则a=b=0,即p⇒q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件.(2)由于p:|x|>3⇔q:x2>9,所以p是q的充要条件.
探究点三充分条件与必要条件的应用【例4】已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.分析根据条件的充分必要性构建不等式组,解不等式组可得实数m的范围.
规律方法由条件关系求参数的取值范围的方法(1)化简p,q;(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要)转化为集合间的关系;(3)利用集合间的关系建立不等关系;(4)求解参数范围.
变式探究将例4改为:p是q的充分不必要条件,其他条件不变,试求m的取值范围.
探究点四充要条件的探求【例5】求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件.分析首先讨论二次项的系数a是否为零,在a≠0时,利用判别式和根与系数的关系求解.
规律方法求充要条件的方法求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求转化时思维要缜密.p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.
变式训练3设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是()A.m>-1,n
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