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第二章2.1.1等式的性质与方程的解集
内容索引0102基础落实•必备知识全过关重难探究•能力素养全提升03学以致用•随堂检测全达标
课标要求1.了解等式的性质并会应用.2.会用十字相乘法进行因式分解.3.会求一元一次方程及一元二次方程的解集.
基础落实•必备知识全过关
知识点1等式的性质与恒等式1.等式的性质文字语言符号语言性质1等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立.如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c.性质2等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc.等式性质的延伸:①对称性:等式左右两边互换,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么b=a;②传递性:如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换)
2.恒等式一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.恒等式是进行代数变形的依据之一.(1)平方差公式、两数和(差)的平方公式.a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式)(a+b)2=a2+2ab+b2(两数和的平方公式)(a-b)2=a2-2ab+b2(两数差的平方公式)
(2)“十字相乘法”对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用右图表示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法被称为“十字相乘法”.运用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解时需满足的条件:①分解因式的多项式是二次三项式;②二次项系数是1,常数项可以分解为两个数的积,且一次项系数是这两个数的和
过关自诊1.分解因式:x2+2xy+y2-4=.答案(x+y-2)(x+y+2)解析x2+2xy+y2-4=(x+y)2-4=(x+y-2)(x+y+2).
2.(1)下列各式是否正确?③若x+a=y-a,则x=y;④若x=y,则ax=by.(2)什么是立方差与立方和公式?提示(1)①正确;②③④错误.(2)立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
知识点2方程的解集(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.(2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.过关自诊求方程x2-3x+2=0的解集.解∵x2-3x+2=0,∴(x-1)(x-2)=0,∴x=1或x=2,∴方程的解集为{1,2}.
重难探究•能力素养全提升
探究点一公式法分解因式【例1】分解因式:(1)x2-25;(2)a2-6a+9;(3)4m(x-y)-8n(y-x);(4)(a2+4)2-16a2.分析掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.解(1)x2-25=(x+5)(x-5);(2)a2-6a+9=(a-3)2;(3)4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n);(4)(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.
规律方法分解因式的常用方法(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;(3)提取公因式法;
变式训练1分解因式:(1)8a3b2-12ab3c;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc);(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×6(a+b)+36=(a+b-6)2.
探究点二十字相乘法分解因式【例2】把下列各式因式分解.(1)x2+3x+2;(2)6x2-7x-5;(3)5x2+6xy-8y2.
解(1)x2+3x+2=(x+1)(x+2).(2)6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).
(3)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).规律方法十字相乘法分解因式易错点用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误:一是没有验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.
变式训练2(1)x2+10x+16分解因式为()A.(x+2)(x+8)B.(x-2)(x+8)C.(x+2)(x-8)D.(x-2)(x-8)(2)x2-13xy-30y2分解因式为()A.(x-3y)(x-10y)B.(x+15y)(x-2y)C.(x+10y)(x+3y)D.(x-15y)(x+2y)(3)6x2-29x+35分解因式为()A.(2x-7)(3x-5)B.(3x-7)(2x-5)C.(3x-7)(2x+5)D.(2x-7)(3x+5)
答案(1)A(2)D(3)B解析(1)x2+10x+16=(x+2)(x+8).(2)x2-13xy-30y2=(x-15y)(x+2y).
(3)6x2-29x+35=(3x-7)(2x-5).
探究点三求方程的解集【例3】求方程x(x-2)+x-2=0的解集.分析将方程左边整理化成两个一次因式乘积的形式,进而求解.解把方程左边因式分解,得(x-2)(x+1)=0,从而,得x-2=0或x+1=0,所以x1=2,x2=-1.所以方程的解集为{-1,2}.
规律方法因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
变式探究请用求根公式求解本例方程的解集.解原方程可化为x2-x-2=0,∴x1=2,x2=-1,∴方程的解集为{-1,2}.
素养培优数形结合思想的应用【典例】二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于点(0,3).(1)求出m的值并画出此二次函数的图象.(2)求此二次函数的图象与x轴的交点及函数图象顶点的坐标.(3)x取什么值时,函数图象在x轴上方.
解(1)由二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图象与y轴交于点(0,3),得m=3.∴二次函数为y=-x2+2x+3.图象如图所示.
(2)由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3.∴二次函数图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0).∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴函数图象的顶点坐标为(1,4).(3)由图象可知:当-1
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