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第二章 2.3 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关课时分层训练1．观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是( )解析：选A 直接根据相关关系的定义判断，显然只有A正确．2．工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为＝50＋80x，下列判断中正确的是( )A．劳动生产率为1000元时，工资为130元B．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元C．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高130元D．当工资为250元时，劳动生产率为2000元解析：选B 由题意得，根据回归方程＝50＋80x，可知回归方程的斜率为80，根据回归方程中斜率的意义，可知劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元，故选B.3．某旅行社为迎节日搞活动旅游，经市场调查，某旅游线路销量y(人)与旅游单价x(元/人)负相关，则其回归方程可能是( )A.＝－80x＋1600B．＝80x＋1600C.＝－80x－1600D．＝80x－1600
解析：选A y与x负相关，排除B，D；而C中当x＞0时，＝－80x－1600＜0，不符合题意，排除C.4．5位学生的数学成绩和物理成绩如下表：学生学科 ABCDE数学8075706560物理7066686462则数学成绩与物理成绩之间( )A．是函数关系B．是相关关系，但相关性很弱C．具有较好的相关关系，且是正相关D．具有较好的相关关系，且是负相关解析：选C 数学成绩x和物理成绩y的散点图如图所示．从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系，且成正相关．5．(2019·孝感高一检测)某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得回归方程＝x＋中≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量为( )A．58度 B．66度C．68度D．70度解析：选C 由表知＝＝10，＝
＝40，因为回归直线一定过点(10,40)，则40＝－2×10＋，则＝60，则＝－2x＋60.当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.6．已知高三学生高考成绩y(单位：分)与高三期间有效复习时间x(单位：天)正相关，且回归直线方程是＝3x＋50.若期望甲同学高考成绩不低于500分，那么他的有效复习时间应不低于________天．解析：由3x＋50≥500，得x≥150.答案：1507．一组数据，经计算得＝10，＝4，回归直线的斜率为0.6，则利用回归直线方程估计当x＝12时，＝________.解析：由题意可设回归直线方程为＝0.6x＋，因为回归直线过(10,4)，所以4＝0.6×10＋，所以＝－2，所以＝0.6x－2.当x＝12时，＝0.6×12－2＝5.2.答案：5.28．已知某班学生每周用于物理学习的时间x(单位：h)与物理成绩y(单位：分)的几组数据如下：x24152319161120161713y92799789644783687159根据上表可得回归直线的斜率为3.53，则回归直线在y轴上的截距为________(结果保留到0.1)．解析：由已知可得＝＝17.4，＝＝74.9.设回归直线方程为＝3.53x＋，则74.9＝3.53×17.4＋，解得≈13.5，所以回归直线在y轴上的截距为13.5.答案：13.5
9．某研究机构对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3*68由于某些原因，识图能力的一个数据丢失，但已知识图能力样本的平均值是5.5.(1)经过分析，知道记忆能力x和识图能力y之间具有线性相关关系，请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；(2)已知某一学生记忆能力值为12，请预测他的识图能力值．解：(1)设丢失的数据为m，依题意，得＝5.5，解得m＝5，即丢失的数据值是5.由表中的数据，得＝＝7，＝5.5，xiyi＝4×3＋6×5＋8×6＋10×8＝170，x＝42＋62＋82＋102＝216，所以＝＝＝0.8，＝－＝5.5－0.8×7＝－0.1，所以所求线性回归方程为＝0.8x－0.1.(2)由(1)，得当x＝12时，＝0.8×12－0.1＝9.5，即预测他的识图能力值是9.5.10．一机器可以按各种不同的速度转动，其生产出来的零件有一些会有问题，每小时生产的零件中有问题的零件数y随机器运转的速度x(转/秒)而变化，下表为抽样试验的结果：
x1614128y11985(1)画出散点图；(2)求回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时生产的零件中有问题的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解：(1)散点图如图所示：(2)由散点图，可知两变量之间具有线性相关关系．计算可得＝12.5，＝8.25，x＝660，xiyi＝438.设所求回归方程为＝x＋，则＝＝＝，＝－＝8.25－×12.5＝－，所以回归方程为＝x－.(3)由y≤10，得x－≤10，解得x≤，所以机器的运转速度应控制在内．1．对两个变量的四组数据进行统计，获得以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是( )
A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3解析：选A 由相关系数的定义以及散点图的含义，可知r2＜r4＜0＜r3＜r1.2．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立的儿子身高(单位：cm)与年龄(单位：岁)的回归方程为＝7.19x＋73.93，用这个方程预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )A．她儿子10岁时的身高一定是145.83cmB．她儿子10岁时的身高在145.83cm以上C．她儿子10岁时的身高在145.83cm左右D．她儿子10岁时的身高在145.83cm以下解析：选C 利用回归方程进行预测，只能说身高在某一预测值附近．由回归方程预测她儿子10岁时的身高＝7.19×10＋73.93＝145.83(cm)．3．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元解析：选B 由题意得＝10.0，＝8.0，＝0.76，∴＝8.0－0.76×10.0＝0.4，∴回归直线方程为＝0.76x＋0.4.把x＝15代入上式得，＝0.76×
15＋0.4＝11.8.4．(2019·烟台高一检测)某记者就某热播剧的收视率调查了年龄在[10,34]内的观众，发现年龄段与爱看该热播剧的比例存在线性相关关系，年龄在[10,14][15,19][20,24][25,29][30,34]内的观众爱看该热播剧的比例分别为10%,18%,20%,30%，t%.现用这5个年龄段的中间值x分别代表年龄段，如12代表[10,14]17代表[15,19]根据前四个数据求得爱看该热播剧的比例y关于x的线性回归方程为＝(kx－4.68)%，由此可推测t的值为( )A．33B．35C．37D．39解析：选B 由前4个数据，得＝19.5，＝19.5%，∴19.5%＝(19.5k－4.68)%，解得k＝1.24，∴＝(1.24x－4.68)%.当x＝＝32时，t＝1.24×32－4.68＝35.5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x3456y2.5t44.5根据此表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为________．解析：由回归直线过点(，)，即＝0.7＋0.35，得＝0.7×＋0.35，解得t＝3.答案：36．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．
解析：令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为1＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，所以|1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.答案：207．1970年的一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位从192t到3246t，船员的数目从5人到32人，由船员人数关于吨位的回归分析得到如下结果：＝9.5＋0.0062x.其中x为轮船的吨位，为船员人数．假定两艘轮船吨位相差1000t，船员平均人数相差________人．对于最小的船估计的船员人数是________人．对于最大的船估计的船员人数是________人．解析：假设两艘轮船的吨位分别是(1000＋x)t和xt，则船员平均人数相差[9.5＋0.0062×(1000＋x)]－(9.5＋0.0062x)＝6.2≈6(人)．对于最小的船估计的船员人数为9.5＋0.0062×192≈11(人)．对最大的船估计的船员人数为9.5＋0.0062×3246≈30(人)．答案：6 11 308．为了分析某高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下表是该学生7次考试的成绩：数学成绩x888311792108100112物理成绩y949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请说明理由；(2)已知该学生的数学成绩x与物理成绩y是线性相关的，若该学生某次考试的物理成绩为115分，请你估计他的数学成绩大约是多少分？并请你根据数学成绩与物理成绩的相关性，给出该学生在学习数学、物理上的合理建议．(参数数据：88×94＋83×91＋117×108＋92×96＋108×104＋100×101＋112×106＝70497,882＋832＋1172＋922＋1082＋1002＋1122＝70994)解：(1)物理成绩更稳定．
＝100＋＝100，＝100＋＝100，s＝＝142，s＝，从而s＞s，所以该学生的物理成绩更稳定．(2)由于x与y之间具有线性相关关系，＝＝＝0.5，＝－＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为＝0.5x＋50.当y＝115时，x＝130，即该学生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．
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