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第二章 2.3 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关课时分层训练1.观察下列四个散点图,两变量具有线性相关关系的是(  )解析:选A 直接根据相关关系的定义判断,显然只有A正确.2.工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为=50+80x,下列判断中正确的是(  )A.劳动生产率为1000元时,工资为130元B.劳动生产率平均提高1000元时,工资平均提高80元C.劳动生产率平均提高1000元时,工资平均提高130元D.当工资为250元时,劳动生产率为2000元解析:选B 由题意得,根据回归方程=50+80x,可知回归方程的斜率为80,根据回归方程中斜率的意义,可知劳动生产率平均提高1000元时,工资平均提高80元,故选B.3.某旅行社为迎节日搞活动旅游,经市场调查,某旅游线路销量y(人)与旅游单价x(元/人)负相关,则其回归方程可能是(  )A.=-80x+1600B.=80x+1600C.=-80x-1600D.=80x-1600 解析:选A y与x负相关,排除B,D;而C中当x>0时,=-80x-1600<0,不符合题意,排除C.4.5位学生的数学成绩和物理成绩如下表:学生学科  ABCDE数学8075706560物理7066686462则数学成绩与物理成绩之间(  )A.是函数关系B.是相关关系,但相关性很弱C.具有较好的相关关系,且是正相关D.具有较好的相关关系,且是负相关解析:选C 数学成绩x和物理成绩y的散点图如图所示.从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系,且成正相关.5.(2019·孝感高一检测)某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系,随机抽查了某4天的用电量与当天气温,并制作了对照表:气温(℃)181310-1用电量(度)24343864由表中数据得回归方程=x+中≈-2,预测当气温为-4℃时,用电量为(  )A.58度     B.66度C.68度D.70度解析:选C 由表知==10,= =40,因为回归直线一定过点(10,40),则40=-2×10+,则=60,则=-2x+60.当x=-4时,=-2×(-4)+60=68.6.已知高三学生高考成绩y(单位:分)与高三期间有效复习时间x(单位:天)正相关,且回归直线方程是=3x+50.若期望甲同学高考成绩不低于500分,那么他的有效复习时间应不低于________天.解析:由3x+50≥500,得x≥150.答案:1507.一组数据,经计算得=10,=4,回归直线的斜率为0.6,则利用回归直线方程估计当x=12时,=________.解析:由题意可设回归直线方程为=0.6x+,因为回归直线过(10,4),所以4=0.6×10+,所以=-2,所以=0.6x-2.当x=12时,=0.6×12-2=5.2.答案:5.28.已知某班学生每周用于物理学习的时间x(单位:h)与物理成绩y(单位:分)的几组数据如下:x24152319161120161713y92799789644783687159根据上表可得回归直线的斜率为3.53,则回归直线在y轴上的截距为________(结果保留到0.1).解析:由已知可得==17.4,==74.9.设回归直线方程为=3.53x+,则74.9=3.53×17.4+,解得≈13.5,所以回归直线在y轴上的截距为13.5.答案:13.5 9.某研究机构对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析,得到如下数据:记忆能力x46810识图能力y3*68由于某些原因,识图能力的一个数据丢失,但已知识图能力样本的平均值是5.5.(1)经过分析,知道记忆能力x和识图能力y之间具有线性相关关系,请用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+;(2)已知某一学生记忆能力值为12,请预测他的识图能力值.解:(1)设丢失的数据为m,依题意,得=5.5,解得m=5,即丢失的数据值是5.由表中的数据,得==7,=5.5,xiyi=4×3+6×5+8×6+10×8=170,x=42+62+82+102=216,所以===0.8,=-=5.5-0.8×7=-0.1,所以所求线性回归方程为=0.8x-0.1.(2)由(1),得当x=12时,=0.8×12-0.1=9.5,即预测他的识图能力值是9.5.10.一机器可以按各种不同的速度转动,其生产出来的零件有一些会有问题,每小时生产的零件中有问题的零件数y随机器运转的速度x(转/秒)而变化,下表为抽样试验的结果: x1614128y11985(1)画出散点图;(2)求回归方程;(3)若实际生产中,允许每小时生产的零件中有问题的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?解:(1)散点图如图所示:(2)由散点图,可知两变量之间具有线性相关关系.计算可得=12.5,=8.25,x=660,xiyi=438.设所求回归方程为=x+,则===,=-=8.25-×12.5=-,所以回归方程为=x-.(3)由y≤10,得x-≤10,解得x≤,所以机器的运转速度应控制在内.1.对两个变量的四组数据进行统计,获得以下散点图,关于两个变量相关系数的比较,正确的是(  ) A.r2<r4<0<r3<r1B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1D.r2<r4<0<r1<r3解析:选A 由相关系数的定义以及散点图的含义,可知r2<r4<0<r3<r1.2.一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高,建立的儿子身高(单位:cm)与年龄(单位:岁)的回归方程为=7.19x+73.93,用这个方程预测儿子10岁时的身高,则下面的叙述正确的是(  )A.她儿子10岁时的身高一定是145.83cmB.她儿子10岁时的身高在145.83cm以上C.她儿子10岁时的身高在145.83cm左右D.她儿子10岁时的身高在145.83cm以下解析:选C 利用回归方程进行预测,只能说身高在某一预测值附近.由回归方程预测她儿子10岁时的身高=7.19×10+73.93=145.83(cm).3.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76,=-.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(  )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元解析:选B 由题意得=10.0,=8.0,=0.76,∴=8.0-0.76×10.0=0.4,∴回归直线方程为=0.76x+0.4.把x=15代入上式得,=0.76× 15+0.4=11.8.4.(2019·烟台高一检测)某记者就某热播剧的收视率调查了年龄在[10,34]内的观众,发现年龄段与爱看该热播剧的比例存在线性相关关系,年龄在[10,14][15,19][20,24][25,29][30,34]内的观众爱看该热播剧的比例分别为10%,18%,20%,30%,t%.现用这5个年龄段的中间值x分别代表年龄段,如12代表[10,14]17代表[15,19]根据前四个数据求得爱看该热播剧的比例y关于x的线性回归方程为=(kx-4.68)%,由此可推测t的值为(  )A.33B.35C.37D.39解析:选B 由前4个数据,得=19.5,=19.5%,∴19.5%=(19.5k-4.68)%,解得k=1.24,∴=(1.24x-4.68)%.当x==32时,t=1.24×32-4.68=35.5.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据:x3456y2.5t44.5根据此表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35,那么表中t的值为________.解析:由回归直线过点(,),即=0.7+0.35,得=0.7×+0.35,解得t=3.答案:36.期中考试后,某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y对总成绩x的回归直线方程为=6+0.4x.由此可以估计:若两个同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差________分. 解析:令两人的总成绩分别为x1,x2.则对应的数学成绩估计为1=6+0.4x1,2=6+0.4x2,所以|1-2|=|0.4(x1-x2)|=0.4×50=20.答案:207.1970年的一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位从192t到3246t,船员的数目从5人到32人,由船员人数关于吨位的回归分析得到如下结果:=9.5+0.0062x.其中x为轮船的吨位,为船员人数.假定两艘轮船吨位相差1000t,船员平均人数相差________人.对于最小的船估计的船员人数是________人.对于最大的船估计的船员人数是________人.解析:假设两艘轮船的吨位分别是(1000+x)t和xt,则船员平均人数相差[9.5+0.0062×(1000+x)]-(9.5+0.0062x)=6.2≈6(人).对于最小的船估计的船员人数为9.5+0.0062×192≈11(人).对最大的船估计的船员人数为9.5+0.0062×3246≈30(人).答案:6 11 308.为了分析某高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议,现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析.下表是该学生7次考试的成绩:数学成绩x888311792108100112物理成绩y949110896104101106(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请说明理由;(2)已知该学生的数学成绩x与物理成绩y是线性相关的,若该学生某次考试的物理成绩为115分,请你估计他的数学成绩大约是多少分?并请你根据数学成绩与物理成绩的相关性,给出该学生在学习数学、物理上的合理建议.(参数数据:88×94+83×91+117×108+92×96+108×104+100×101+112×106=70497,882+832+1172+922+1082+1002+1122=70994)解:(1)物理成绩更稳定. =100+=100,=100+=100,s==142,s=,从而s>s,所以该学生的物理成绩更稳定.(2)由于x与y之间具有线性相关关系,===0.5,=-=100-0.5×100=50,所以线性回归方程为=0.5x+50.当y=115时,x=130,即该学生物理成绩达到115分时,他的数学成绩大约为130分.建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性,将有助于物理成绩的进一步提高. 查看更多

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