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课时作业16 导数与不等式问题一、选择题1．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是( C )A．[－5，－3]B.C．[－6，－2]D．[－4，－3]解析：当x∈(0,1]时，a≥－33－42＋，令t＝，则t∈[1，＋∞)，a≥－3t3－4t2＋t，令g(t)＝－3t3－4t2＋t，在t∈[1，＋∞)上，g′(t)0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.二、填空题3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是(－∞，－20]．解析：令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或3(舍去)．因为f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.所以f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.4．已知函数f(x)＝ax2－xlnx在上单调递增，则实数a的取值范围是a≥.解析：f′(x)＝2ax－lnx－1≥0，解得2a≥在上恒成立，构造函数g(x)＝，g′(x)＝＝＝0，解得x＝1，∴g(x)在上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，g(x)的最大值为g(1)＝1，∴2a≥1，a≥，故填a≥.
5．设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是k≥.解析：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立，等价于≤恒成立，f(x)＝＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，即f(x)的最小值是2，由g(x)＝，则g′(x)＝＝，由g′(x)>0得00时，求证f(x)≥a；(3)若在区间(1，e)上e－ex0)，则g′(x)＝a.令g′(x)>0，即a>0，解得x>1，令g′(x)0，(ax－1)lna在R上是增函数，当00，即f(1)>f(－1)；当0
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