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6.2.4组合数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导组合数公式.2.能解决有限制条件的组合问题.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题,提升逻辑推理及数学运算素养. 新知探究某校开展秋季运动会招募了20名志愿者,他们的编号分别是1号,2号,…,19号,20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作,其中两个编号较小的人在一组,两个标号较大的在另一组,那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种? 问题 上述问题情景中,是一个较为复杂的组合问题,如何用组合数解决此问题? 2.组合数公式组合数公式可以由排列数公式表示,注意公式的结构 拓展深化[微判断]3.“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”,叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”.()提示“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”,叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合”.×√× 答案B 2.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,不同选法有()A.504种B.729种C.84种D.27种答案2 提示成立.它们是组合数的两个性质,在计算时可直接应用.2.组合数公式的两种形式在应用中如何选择? 题型二 与几何有关的组合应用题【例2】如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其中含C1点的有多少个?(2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形? 规律方法(1)图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法.(2)在处理几何问题中的组合问题时,应将几何问题抽象成组合问题来解决. 【训练2】空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,无四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为()A.205B.110C.204D.200 题型三 分组、分配问题角度1不同元素的分组分配问题【例3】6本不同的书,分为3组,在下列条件下各有多少种不同的分配方法?(1)每组2本(平均分组);(2)一组1本,一组2本,一组3本(不平均分组);(3)一组4本,另外两组各1本(局部平均分组). 角度2相同元素分配问题【例4】将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求下列放法的种数.(1)每个盒子都不空;(2)恰有一个空盒子;(3)恰有两个空盒子. (3)恰有两个空盒子,插板分两步进行. 规律方法“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组均匀,最后必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配. 【训练3】将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法?(2)每盒至多一球,有多少种放法?(3)恰好有一个空盒,有多少种放法?(4)每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法?(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球,恰有一个空盒,有多少种放法?(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球,要求每个盒内的球数不少于它的编号数,有多少种放法? 解(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个,将小球一个一个放入盒子,共有4×4×4×4=44=256(种)放法. 一、素养落地1.通过本节课的学习,进一步提升逻辑推理及数学运算素养.2.几何中的计算问题:在处理几何问题中的组合应用问题时,应先明确几何中的点、线、面及构型,明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系,将几何问题抽象成组合问题来解决.3.分组、分配问题:分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,是不可区分的,而后者即使两组元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的. 二、素养训练1.某乒乓球队有9名队员,其中2名是种子选手,现在挑选5名选手参加比赛,种子选手必须在内,那么不同选法共有()A.26种B.84种C.35种D.21种 2.身高各不相同的7名同学排成一排照相,要求正中间的同学最高,左右两边分别顺次一个比一个低,这样的排法种数是()A.5040B.36C.18D.20 3.直角坐标平面xOy上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有()A.25个B.36个C.100个D.225个 4.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动,若每天安排3人,则不同的安排方案共有________种(用数字作答). 5.某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上不同的选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜品种__________种(结果用数值表示).解析设餐厅还需准备x种不同的素菜.又x≥2,x∈N*,所以x的最小值为7.答案7 查看更多

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