资料简介
7.3.2离散型随机变量的方差
课标要求素养要求1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.通过研究离散型随机变量的方差，进一步提升数学抽象及数据分析素养.
新知探究甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格产品数分别用X，Y表示，X，Y的分布列如下：
如何比较甲、乙两人的技术？问题 情境中的问题，我们可以分别求出甲、乙两人不合格品数的均值，但是两人的均值相等，我们应如何更准确地比较两个工人的技术水平？提示我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．
1．离散型随机变量的方差、标准差正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称
2．几个常见的结论(1)D(aX＋b)＝______________．(2)若X服从两点分布，则D(X)＝______________．a2D(X)p(1－p)
拓展深化[微判断]1．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()提示随机变量的方差越小，随机变量越稳定．2．若a是常数，则D(a)＝0.()3．离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．()×√√
[微训练]1．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5,则E(X)和D(X)分别为()A．0.5和0.25B．0.5和0.75C．1和0.25D．1和0.75解析E(X)＝p＝0.5，D(X)＝p(1－p)＝0.5×0.5＝0.25.答案A
2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为()A．2B．3C．4D．5解析D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.答案C
[微思考]离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定.
题型一 求离散型随机变量的方差角度1用定义求离散型随机变量的方差【例1】设离散型随机变量X的分布列为
答案C
角度2求两点分布的方差【例2】若某运动员投篮命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为__________．解析依题意知：X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.答案0.16
规律方法求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列型(非两点分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差．(2)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成(1)中的情况．
【训练1】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差．
解(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.
(2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球；若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球．所以X的可能取值为3，5，6，7，
所以X的分布列为
题型二 方差的性质的应用【例3】已知随机变量X的分布列为：
规律方法求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
【训练2】设随机变量X的分布列为
答案D
题型三 均值与方差的综合应用【例4】有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．
解E(XA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(XB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D(XA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(XB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.由此可见E(XA)＝E(XB)，D(XA)＜D(XB)，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好．
规律方法(1)均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．(2)离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程．
【训练3】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2·2.75＝11，得a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.
3．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．(2)求X取每一个值的概率．(3)写出随机变量X的分布列．(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．
A．8B．15C．16D．32
2．设随机变量X的分布列为
答案B
3．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析由E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＞D(X乙)知B正确．答案B
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝__________，b＝__________．
(2)由题意，X的取值为0，1，2.
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