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5.2.2导数的四则运算法则导学案1.掌握导数的四则运算法则,并能进行简单的应用.2.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导.重点:导数的四则运算法则难点:运用导数的运算法则解决函数求导导数的运算法则(1)和差的导数[f(x)±g(x)]′=______________.(2)积的导数①[f(x)·g(x)]′=____________________;②[cf(x)]′=________.(3)商的导数′=___________________________f′(x)±g′(x);f′(x)g(x)+f(x)g′(x);cf′(x);(g(x)≠0)一、学习导引在例2中,当=5时,这时,求关于的导数可以看成求函数一般地,如何求两个函数和、差、积商的导数呢?二、新知探究探究1:设计算与和有什么关系?再取几组函数试试,上述关系仍然成立吗?由此你能想到什么?
探究:2:设计算,它们是否相等?商的导数是否等于它们导数的商呢?三、典例解析例3.求下列函数的导数(1)(2)例4.求下列函数的导数(1)(2)求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再根据导数的运算法则求导数;(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.跟踪训练1 求下列函数的导数:(1)y=x2+log3x;(2)y=x3·ex;(3)y=.跟踪训练2求下列函数的导数(1)y=tanx;(2)y=2sincos例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需进化费用不断增加,已知将1t水进化到纯净度为所需费用(单位:元),为求进化到下列纯净度时,所需进化费用的瞬时变化率:(1)90;(2)98
例6 (1)函数y=3sinx在x=处的切线斜率为________.(2)已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为f′(x).①求f(1)+f′(1);②若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,求实数a的取值范围.关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用:导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用;(2)方法:先求出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用.1.已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2,则a的值为( )A.1 B.C.-1D.02.已知物体的运动方程为s=t2+(t是时间,s是位移),则物体在时刻t=2时的速度为( )A.B.C.D.3.如图有一个图象是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,且a≠0)的导函数的图象,则f(-1)=( )A.B.-C.D.-或4.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3xex-2x+e;(3)y=;(4)y=x2-sincos.
参考答案:知识梳理学习过程二、新知探究探究1:设,因为=====而=,=,所以=+同样地,对于上述函数,=探究:2:通过计算可知,=,=,同样地也不相等三、典例解析例3.解:(1)(2)例4.解:(1)(2)跟踪训练1[解] (1)y′=(x2+log3x)′=(x2)′+(log3x)′=2x+.(2)y′=(x3·ex)′=(x3)′·ex+x3·(ex)′=3x2·ex+x3·ex=ex(x3+3x2).(3)y′=′=
==-.跟踪训练2解析:(1)y=tanx=,故y′===.(2)y=2sincos=sinx,故y′=cosx.例5解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数;(1)因为所以,进化到纯净度为90时,净化费用的变化瞬时率是元/吨.(2)因为所以进化到纯净度为90时,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.例6 (1)[解析] 由函数y=3sinx,得y′=3cosx,所以函数在x=处的切线斜率为3×cos=.[答案] (2)[解] ①由题意,函数的定义域为(0,+∞),由f(x)=ax2+lnx,得f′(x)=2ax+,所以f(1)+f′(1)=3a+1.②因为曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线,故此时切线斜率为0,问题转化为在x∈(0,+∞)内导函数f′(x)=2ax+存在零点,即f′(x)=0,所以2ax+=0有正实数解,即2ax2=-1有正实数解,故有a
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