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课时分层作业(十四) 基本初等函数的导数 导数的四则运算法则(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)＝，则该函数的导函数f′(x)＝( )A． B．C．D．2x－cosxB [由题意可得f′(x)＝＝，故选B.]2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )A． B． C． D．B [∵f(x)＝ax3＋3x2＋2，∴f′(x)＝3ax2＋6x，又f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.]3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′＝( )A．－2B．e－2C．－1D．eB [由题意得：f′(x)＝2f′(1)＋，令x＝1得：f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f
′(1)＝－1∴f′(x)＝－2＋，∴f′＝e－2.故选B.]4．曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为( )A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0C [当x＝π时，y＝2sinπ＋cosπ＝－1，即点(π，－1)在曲线y＝2sinx＋cosx上．∵y′＝2cosx－sinx，∴y′|x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，则y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.]5．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为( )A．1B．2C．3D．4B [∵f′(x)＝aex＋1，∴f′(0)＝a＋1＝2，解得a＝1，f(0)＝a＋b＝1＋b＝3，∴b＝2，∴ab＝2.故选B.]二、填空题6．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.1 [因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.]7．曲线C：y＝xlnx在点M(e，e)处的切线方程为________．y＝2x－e [y′＝lnx＋1，y′|x＝e＝lne＋1＝2，所以切线方程为y－e＝2(x－e)，化简得2x－y－e＝0.]8．水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为25m时，圆面积的膨胀率是________．25π [因为水波的半径扩张速度为0.5m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝
πt2故水波面积的膨胀率为S′＝πt.当水波的半径为25时，由vt＝25，解得t＝50即可得S′＝π×50＝25π.]三、解答题9．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg，计算a1＋a2＋a3＋…＋a2019.[解] 因为y＝xn＋1，所以y′＝(n＋1)xn，所以曲线在(1，1)处的切线斜率为k＝n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得x＝，即xn＝，所以an＝lg＝lg(n＋1)－lgn，所以a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝lg2－lg1＋lg3－lg2＋lg4－lg3＋…＋lg2020－lg2019＝lg2020＝1＋lg202.10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，
即6x＋2y－1＝0.11．(多选题)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是( )A．＝ B．(cos2x)′＝－2sin2xC．＝3xD．(lgx)′＝BC [＝－，(cos2x)′＝－2sin2x，＝3x，(lgx)′＝.故选BC.]12．(多选题)直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线是( )A．f(x)＝B．f(x)＝x4C．f(x)＝sinxD．f(x)＝exBCD [f(x)＝，故f′(x)＝－＝，无解，故A排除；f(x)＝x4，故f′(x)＝4x3＝，故x＝，即曲线在点的切线为y＝x－，B正确；f(x)＝sinx，故f′(x)＝cosx＝，取x＝，故曲线在点的切线为y＝x－＋，C正确；f(x)＝ex，故f′(x)＝ex＝，故x＝－ln2，曲线在点的切线为y＝x＋ln2＋，D正确．故选BCD.]13．(一题两空)已知f(x)＝xex，则f′(1)＝________；若过点A(a，0)的任意一条直线都不与该曲线C相切，则a的取值范围是________．2e (－4，0) [f′(x)＝(x＋1)ex，∴f′(1)＝2e，设点B(x0，x0e)为曲线C上任意一点．∵y′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，则曲线C在点B处的切线方程为y－x0e＝(x0
＋1)e(x－x0)，根据题意，切线l不经过点A，则关于x0的方程0－x0e＝(x0＋1)e(a－x0)，即x－a－a＝0无实根．∴Δ＝a2＋4a＜0，解得－4＜a＜0.∴a的取值范围是(－4，0)．]14．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.eln3 [设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，所以k＝3ln3，所以y＝3ln3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3ln3·x0＝3，所以x0＝＝log3e.所以k＝eln3.]15．已知P(－1，1)，Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，(1)分别求过P点，Q点的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解] (1)因为y′＝2x.P(－1，1)，Q(2，4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，切线的斜率k＝y′|＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，与PQ平行的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
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