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课时分层作业(十八) 函数的最大(小)值与导数(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)A [令F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=f′(x)-g′(x),又f′(x)<g′(x),故F′(x)<0,∴F(x)在[a,b]上单调递减,∴F(x)max≤F(a)=f(a)-g(a).]2.已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M,m,则M-m的值为( )A.16 B.12 C.32 D.6C [∵f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),由f(-3)=17,f(3)=-1,f(-2)=24,f(2)=-8,可知M-m=24-(-8)=32.]3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值为3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为( )A.0B.-5C.-10D.-37D [因为f(x)=2x3-6x2+m,所以f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),可以得到函数在[-2,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,所以当x=0时,f(x)=m为最大值,所以m=3,即f(x)=2x3-6x2+3,所以f(-2)=2×(-8)-6×4+3=-37,f(2)=-5,所以最小值是-37,故选D.]4.函数f(x)=x3-3x在区间(-2,m)上有最大值,则m的取值范围是( )
A.(-1,+∞)B.(-1,1]C.(-1,2)D.(-1,2]D [由于f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),故函数在(-∞,-1)和(1,+∞)上递增,在(-1,1)上递减,f(-1)=f(2)=2,画出函数图象如图所示,由于函数在区间(-2,m)上有最大值,根据图象可知m∈(xB,xA],即m∈(-1,2],故选D.]5.若函数f(x)=2x3-6x2+3-a对任意的x∈(-2,2)都有f(x)≤0,则a的取值范围为( )A.(-∞,3)B.(2,+∞)C.[3,+∞)D.(0,3)C [f(x)=2x3-6x2+3-a,f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),令f′(x)=0,得x=0,或x=2.在(-2,0)上f′(x)>0,f(x)单调递增;在(0,2)上f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(0)=3-a.因为对任意的x∈(-2,2)都有f(x)≤0,所以f(x)max=3-a≤0,得a≥3.故选C.]二、填空题6.函数f(x)=x-lnx在区间(0,e]上的最小值为________.1 [f′(x)=1-,令f′(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,e]时,f′(x)>0,∴当x=1时,f(x)有极小值,也是最小值,最小值为f(1)=1.]7.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________.-1 [f′(x)==.令f′(x)=0,得x=(x=-舍去),
若x=时,f(x)取最大值,则f(x)max==,=<1,不符合题意;若f(x)max=f(1)==,则a=-1,符合题意.]8.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是________.(-∞,2ln2-2] [函数f(x)=ex-2x+a有零点,即方程ex-2x+a=0有实根,即函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,而g′(x)=2-ex,易知函数g(x)=2x-ex在(-∞,ln2)上递增,在(ln2,+∞)上递减,因而g(x)=2x-ex的值域为(-∞,2ln2-2],所以要使函数g(x)=2x-ex,y=a有交点,只需a≤2ln2-2即可.]三、解答题9.已知函数f(x)=x3-3ax+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x+y+m=0.(1)求实数a,m的值;(2)求f(x)在区间[1,2]上的最值.[解] (1)f′(x)=3x2-3a,∵曲线f(x)=x3-3ax+2在x=1处的切线方程为3x+y+m=0,∴解得a=2,m=0.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x+2,则f′(x)=3x2-6,令f′(x)=0,解得x=±,∴f(x)在[1,)上单调递减,在(,2]上单调递增,又f(1)=1-6+2=-3,f(2)=23-6×2+2=-2,f()=()3-6×+2=2-4,∴f(x)在区间[1,2]上的最大值为-2,最小值为2-4.10.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)≥2020对于∀x∈[-2,2]恒成立,求a的取值范围.[解] (1)f′(x)=-3x2+6x+9.由f′(x)
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