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课时分层作业(七) 等比数列的概念及简单表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是( )A．等差数列B．既是等差数列又是等比数列C．等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列A [由题意得b2＝ac(a，b，c>0)，∴log2b2＝log2ac，即2log2b＝log2a＋log2c，∴log2a，log2b，log2c成等差数列．]2．已知数列{an}是递增的等比数列，a6－a2＝40，a4＋a2＝10，则a1＝( )A． B． C． D．A [由条件知，a2(q4－1)＝40①且a2(q2＋1)＝10②，①÷②得q2－1＝4，∴q＝，把q＝代入②得a2＝，∴a1＝＝＝.]3．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－是此数列的( )A．第2项B．第4项C．第6项D．第8项B [由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4，∴首项为－4，公比为.
∴由－4×＝－13，解得n＝4.]4．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是( )A．B．－C．或－D．A [由于－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，则a2－a1＝d＝[(－4)－(－1)]＝－1.∵－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，∴b＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2.若设公比为q，则b2＝(－1)q2，∴b2＜0，∴b2＝－2，∴＝＝.]5．已知各项均为正数的等比数列{an}单调递增，且a1·a3＝36，a1＋a2＋a3＝26，则a4＝( )A．24B．36C．48D．54D [因为a1·a3＝36，且为各项是正数的等比数列，得a2＝6，所以由于为递增的等比数列，可得∴q2＝＝9.∵an＞0，∴q＝3.∴a4＝a1q3＝2×33＝54.故选D.]二、填空题6．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝________.3×2n－3 [由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.]7．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，
则这两个数为________．27，81 [设该数列的公比为q，由题意知，243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81.]8．设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．64 [设等比数列的公比为q，由得，解得所以a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝8n×＝2，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64.]三、解答题9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？[解] (1)因为2an＝3an＋1，所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，所以a＝，由于各项均为负，故a1＝－，an＝－.(2)设an＝－，则－＝－，＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．[解] (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因为{an}的各项都为正数，所以＝.故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝(n∈N*)．11．(多选题)有下列四个命题，正确的是( )A．等比数列中的每一项都不可以为0B．等比数列中公比的取值范围是(－∞，＋∞)C．若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1D．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列AC [对于A，因为等比数列中的各项都不为0，所以A正确；对于B，因为等比数列的公比不为0，所以B不正确；对于C，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以C正确；对于D，只有当a，b，c都不为0时，a，b，c才成等比数列，所以D不正确．因此，正确的说法有AC，故选AC.]12．(一题两空)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________. －1 [∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②由①②解得a1＝，d＝－1.]13．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________． [已知(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即x2(b－a)2
＝(1－x)(b－a)2.因为b＞a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去)．]14．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．(1)证明：2，2，2，2依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由．[解] (1)因为＝2＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数且d≠0，所以2，2，2，2依次构成等比数列．(2)令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a＞d，a＞－2d，d≠0)．假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0 (*)，且t2＝t＋1.将t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.显然t＝－不是上面方程的解，与假设矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．
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