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课时分层作业(四) 等差数列的性质(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知数列{an}是等差数列,a1+a7=-8,a2=2,则数列{an}的公差d等于( )A.-1 B.-2 C.-3 D.-4C [由a1+a7=2a4=-8可得a4=-4,又a2=2,∴a4-a2=2d,即2d=-6,d=-3.]2.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,即a3+a4=( )A.6B.7C.8D.9B [∵2an=an-1+an+1,∴{an}是等差数列,由等差数列性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,∴a3+a4=3+4=7.]3.在等差数列{an}中,若a2+a9=10,则3a4+a10=( )A.10B.15C.20D.25C [由题意,设等差数列{an}的公差为d,则a2+a9=2a1+9d=10,又由3a4+a10=4a1+18d=2(2a1+9d)=20,故选C.]4.下列说法中正确的是( )A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列C [因为a,b,c成等差数列,则2b=a+c,所以2b+4=a+c+4,即2(b+2)=(a+2)+(c+2),所以a+2,b+2,c+2成等差数列.]
5.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱(“钱”是古代的一种重量单位),令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱.”这个问题中,甲所得为( )A.钱B.钱C.钱D.钱B [根据题意,设甲、乙、丙、丁、戊分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可得a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,①a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,②联立①②得a=1,d=-,则甲所得为1-2×=.]二、填空题6.在等差数列{an}中,a15=33,a25=66,则a45=________.132 [在等差数列{an}中,a15,a25,a35,a45成等差数列,公差是a25-a15=33.∴a45=33+3×33=132.]7.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为________.1或2 [∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.]8.(一题多空)在通常情况下,从地面到10km高空,高度每增加1km,气温就下降某一个固定数值.如果1km高度的气温是8.5℃,5km高度的气温是-17.5℃,则2km,4km,8km高度的气温分别为________、________、________.2℃ -11℃ -37℃ [用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,则a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5,∴an=15-6.5n.∴a2=2,a4=-11,a8=-37,即2km,4km,8km高度的气温分别为2℃,-11℃,-37℃.]
三、解答题9.在等差数列{an}中,若a3+a8+a13=12,a3a8a13=28.求数列{an}的通项公式.[解] 法一:设{an}的首项为a1,公差为d,则由a3+a8+a13=12,得a1+7d=4,∴a1=4-7d.代入a3a8a13=28,并整理得(4-5d)×4×(4+5d)=28,即d=±.当d=时,a1=-,an=n-;当d=-时,a1=,an=-n+.法二:∵a3+a8+a13=3a8=12,∴a8=4.a3a8a13=(a8-5d)a8(a8+5d)=28,∴16-25d2=7,∴d=±.当d=时,an=a8+(n-8)d=n-;当d=-时,an=-n+.法三:∵a3+a8+a13=3a8=12,∴a8=4,∴∴a3,a13是方程x2-8x+7=0的两根,∴或由a3=1,a13=7,得d==,∴an=a3+(n-3)d=n-.同理,由a3=7,a13=1,得an=-n+.10.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.[解] 法一:设这三个数为a,b,c(a
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