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课时分层作业(九) 等比数列的前n项和公式(建议用时：40分钟)一、选择题1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )A．31 B．32 C．63 D．64C [在等比数列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比数列，故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，则(15－3)2＝3(S6－15)，解得S6＝63.]2．已知{an}是等比数列，a3＝1，a6＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1等于( )A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C．(1－4－n)D．(1－2－n)C [∵a3＝1，a6＝，∴q＝，∴a1＝4，∴a1a2＝8，∵＝q2＝∴数列{anan+1}是以8为首项，为公比的等比数列．∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．]3．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( )A．－2B．－1C．D．B [由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.故选B.]
4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和等于( )A．或5B．或5C．D．C [设数列{an}的公比为q，显然q≠1，由已知得＝，解得q＝2(q＝1舍去)，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，前5项和为＝.]5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏B [设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B.]二、填空题6．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.2n－1－ [由a4＝a1q3得q＝－2，∴an＝(－2)n－1，∴|an|＝2n－2.∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.]
7．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.6 [∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．6 [由题意知，第n天植树2n棵，则前n天共植树2＋22＋…＋2n＝(2n＋1－2)棵，令2n＋1－2≥100，则2n＋1≥102，又26＝64，27＝128，且{2n＋1}单调递增，所以n≥6，即n的最小值为6.]三、解答题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[解] (1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4.从而Sn＝＝.10．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记bn＝的前n项和为Tn，求Tn.[解] (1)设正项等差数列{an}的公差为d，则d＞0.∵S3＝12，即a1＋a2＋a3
＝12，∴3a2＝12，∴a2＝4.又2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a＝2a1·(a3＋1)，即42＝2(4－d)·(4＋d＋1)，解得d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故an＝3n－2.(2)bn＝＝＝(3n－2)×，∴Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－2)×.①①×得Tn＝1×＋4×＋7×＋…＋(3n－5)×＋(3n－2)×.②①－②得，Tn＝＋3×＋3×＋3×＋…＋3×－(3n－2)×＝＋3×－(3n－2)×＝－×－(3n－2)×，∴Tn＝－×－×＝－×.11．(多选题)设等比数列的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，
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