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第四章数列章末测试注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案,每题5分,共40分)1.(2020·山东泗水·期中(文))已知数列中,,,则等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】在数列中,,,则,,,.故选:B.2.(2020·四川阆中中学月考(理))等比数列的各项均为正实数,其前n项和为Sn,若a3=4,a2·a6=64,则S5=()A.32B.31C.64D.63【答案】B【解析】依题意,即,解得,所以.故选:B3.(2020·湖南武陵·常德市一中月考)在等比数列中,,则()A.3B.C.3或D.或 【答案】C【解析】若的公比为,∵,又由,即有或,∴或,故有或故选:C4.(2021·黑龙江校月考(理))在递减等比数列中,是其前项和,若,,则().A.B.C.D.【答案】A【解析】则,解得或,∵是递减数列,则,∴,(舍去).∴,.故选:A.5.(2020·重庆高一期末)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目:把个面包分给个人,使每个人所得成等差数列,且使较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小的一份为()A.B.C.D.【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为,设公差为,依题意可得,,, ,解得,.故选:A.6.(2020·贵州贵阳·为明国际学校其他(理))已知等比数列的前n项和为,若公比,则数列的前n项积的最大值为()A.16B.64C.128D.256【答案】B【解析】由,,得,解得,所以数列为8,,2,,,,……,前4项乘积最大为64.故选:B.7.(2020·吉林市第二中学月考)已知等差数列的前n项的和为,且,有下面4个结论:①;②;③;④数列中的最大项为,其中正确结论的序号为()A.②③B.①②C.①③D.①④【答案】B【解析】由得,,则,,所以,所以,①正确;,故②正确;,故③错误;因为,,故数列中的最大项为,故④错误.故选:B.8.(2020·上海市市西中学月考)已知等差数列的前n项和为,若是一个确定的常数,则数列中是常数的项是() A.;B.;C.;D.【答案】D【解析】由于题目所给数列为等差数列,根据等差数列的性质,有,故为确定常数,由等差数列前项和公式可知也为确定的常数.故选:D二、多选题(每题有多个选项为正确答案,少选且正确得3分,每题5分,共20分)9.(2020·鱼台县第一中学月考)设是等差数列,为其前项和,且,,则下列结论正确的是()A.B.C.D.、均为的最大值【答案】ABD【解析】由得,即,又∵,,,故B正确;同理由,得,,故A正确;对C,,即,可得,由结论,显然C是错误的;与均为的最大值,故D正确;故选:ABD.10.(2020·河北邯郸·高三月考)已知数列满足:,当时, ,则关于数列说法正确的是()A.B.数列为递增数列C.数列为周期数列D.【答案】ABD【解析】得,∴,即数列是首项为,公差为1的等差数列,∴,∴,得,由二次函数的性质得数列为递增数列,所以易知ABD正确,故选:ABD.11.(2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考)在《增减算法统宗》中有这样一则故事:三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.则下列说法正确的是()A.此人第三天走了二十四里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第二天走的路程占全程的D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】BD【解析】由题意,此人每天所走路程构成以为公比的等比数列,记该等比数列为,公比为,前项和为,则,解得,所以此人第三天走的路程为,故A错;此人第一天走的路程比后五天走的路程多里,故B正确; 此人第二天走的路程为,故C错;此人前三天走的路程为,后三天走的路程为,,即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍,D正确;故选:BD.12.(2019·高二期中)已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则使得为整数的正整数的值为()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】由题意可得,则,由于为整数,则为的正约数,则的可能取值有、、,因此,正整数的可能取值有、、.故选:ACD.第II卷(非选择题)三、填空题(每题5分,共20分)13.(2020·山东泗水·期中(文))已知是等比数列,,,则______.【答案】【解析】由题意,等比数列中,,,可得,解得,又由,且, 即数列表示首项为,公比为的等比数列,所以.故答案为:.14.(2021·黑龙江校月考(理))在各项都是正数的等比数列中,,,成等差数列,则的值是________.【答案】【解析】设等比数列的公比为,由,得,解得(负值舍),则.故答案为:.15.(2020·吉林市第二中学月考)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S6=30,S9=70,则S3=________.【答案】10【解析】根据等比数列的前n项和的性质,若Sn是等比数列的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍是等比数列,得到(S6-S3)2=S3(S9-S6),即.解得S3=10或S3=90(舍).故答案为: 16.(2020·四川武侯·成都七中月考)已知等差数列的公差,前项之和为,若对任意正整数恒有,则的取值范围是______.【答案】【解析】因为对任意正整数恒有,所以为最小值,因此,即故答案为:四、解答题(17题10分,其余每题12分,共6题70分)17.(2020·月考(文))已知在等差数列中,,.(1)求数列的通项公式:(2)设,求数列的前n项和.【答案】(1);(2).【解析】设等差数列的公差为,由,可得解得,所以等差数列的通项公式可得;(2)由(1)可得,所以.18.(2020·湖南武陵·常德市一中月考)已知数列的前项和为,.(1)求证:数列为等差数列; (2)记数列的前项和为,求【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)当时,因为,所以,即首项为,公差为的等差数列.(2)由(1)得,.当时,.当时,,符合题意,所以.所以,所以.19.(2021·黑龙江月考(理))已知各项均为正数的等差数列中,,且,,构成等比数列的前三项.(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前项和.【答案】(1),;(2)【解析】(1)设等差数列的公差为,则由已知得:,即,又,解得或(舍去),, ,又,,,;(2),,两式相减得,则.20.(2020·月考(理))已知数列为等差数列,,,其前项和为,且数列也为等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);(2).【解析】(1)设等差数列的公差为,,,成等差数列,,解得,,经检验,所以数列为等差数列,.(2),,设数列的前项和为, 则.21.(2020·浙江月考)已知等比数列的公比,且,是,的等差中项.(1)求数列的通项公式;(2)证明:,设的前项的和为,求证:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】(1)由是,的等差中项得,所以,解得,由,得,解得或,因为,所以.所以.(2),在成立,又有,.22.(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中(理))已知数列中,是的前项和且是与的等差中项,其中是不为的常数.(1)求.(2)猜想的表达式,并用数学归纳法进行证明.【答案】(1);;(2)猜想:;证明见解析【解析】(1)由题意知: 即,当时,,解得.当时,,解得.当时,,解得.(2)猜想:证明:①当时,由(1)知等式成立.②假设当时等式成立,即,则当时,又则,,∴,即所以,即当时,等式成立.结合①②得对任意均成立. 查看更多

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