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专题09导数在研究函数中的应用（2）一、单选题1．（2020·四川省成都为明学校高二月考（理））函数的部分图像大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，函数是偶函数，的图象关于轴对称，故排除B，又，故排除D.在时取最小值，即时取最小值，解得x=，此时故排除C.故选:A.2．（2020·四川省成都为明学校高二月考（理））已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，在内不是单调函数，故在存在变号零点，即在存在零点，∴.
故选：A.3．（2020·四川省成都为明学校高二月考（理））已知函数极值点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】由，可得，由，可得，令，可得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故可得函数存在一个极值点，故选：B.4．（2020·第五师分校高二期中（理））设，，，则大小关系是()A．B．C．D．【答案】A【解析】考查函数，则，在上单调递增，，，即，，故选A.5．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））已知函数，是其导函数，恒有，则()A．B．C．D．【答案】A
【解析】因为，即，因为，故，则上式等价于：，构造函数，则，即在区间单调递增.则，即，即，故正确，错误；又，即，即，故错误；又，即，即，故错误.故选：A.6．（2020·第五师分校高二期中（理））若对于任意的，都有，则的最大值为（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令令，所以函数在
上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故的最大值为1，选C.7．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】构造函数，其中，则，所以，函数在定义域上为增函数，在不等式两边同时乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集为，故选：D.点睛：本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数；（2）利用导数分析函数的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为，利用函数的单调性与奇偶性求解.8．（2020·江西省石城中学高二月考（文））已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（）A．B．
C．D．【答案】C【解析】当时，由，得，两边同乘得，设，则恒成立，∴在单调递减，由，则，即，因为是偶函数，所以也是偶函数，则不等式等价，即，则或，即实数的取值范围是，故选C．二、多选题9．（2020·山东省高二期中）已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】设，，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，A正确；设，，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，即，故，B错误；设，，则在上恒成立，故函数单调递增，，即，C正确；
设，，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，故，D正确.故选：ACD.10．（2020·江苏省高二期中）关于函数，，下列说法正确的是（）A．当时，在处的切线方程为B．当时，存在唯一极小值点且C．对任意，在上均存在零点D．存在，在上有且只有一个零点【答案】ABD【解析】选项A，当时，，，所以，故切点为，，所以切线斜率，故直线方程为：，即切线方程为：，选项A符合题意；选项B，当时，，，，恒成立，所以单调递增，又，，故存在唯一极值点，不妨设，则，即，，选项B符合题意；
对于选项，，令，即，当，且显然没有零点，故，且，所以，则令，，令，解得，，，所以单调递减，单调递增，有极小值，单调递增，单调单调递减，有极大值，故选项C，任意均有零点，不符合，选项D，存在，有且只有唯一零点，此时，故选：ABD.11．（2020·山东省高二期中）已知函数，下列结论中正确的是（）A．函数在时，取得极小值B．对于，恒成立C．若，则D．若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1【答案】BCD【解析】
因为，所以，所以，所以不是函数的极值点，故A错；若，则，所以函数在区间上单调递减；因此，故B正确；令，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减；又，所以，即，所以，故C正确；因为函数在上单调递减；所以时，函数也单调递减，因此在上恒成立；令，，则在上恒成立，所以在上单调递增，因此，即在上恒成立；综上，在上恒成立，故D正确.故选：BCD.12．（2020·盐城市大丰区新丰中学高二期中）关于函数，下列判断正确的是（）
A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则.【答案】BD【解析】A.函数的的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函数单调递减，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2是f（x）的极小值点，即A错误；B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，函数在（0，+∞）上单调递减，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2=ln2﹣11时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明：令，所以因为x>1，所以F′(x)
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