资料简介
第二章2.5.1直线与圆的位置关系
1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.学习目标XUEXIMUBIAO
内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练
1知识梳理PARTONE
知识点一 解决实际问题的一般程序仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案.
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题.第二步：通过代数运算，解决代数问题.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.知识点二用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN1.一涵洞的横截面是半径为5m的半圆，则该半圆的方程是A.x2＋y2＝25B.x2＋y2＝25(y≥0)C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D.随建立直角坐标系的变化而变化√
2.已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为A.4B.3C.2D.1√所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交.故选C.
3.已知点A(3,0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是_______.5,1解析圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.
4.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12m，拱高CD＝4m，则拱桥的直径为________m.13解析设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，所以拱桥的直径为13m.
2题型探究PARTTWO
一、直线与圆的方程的应用例1一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，故轮船不会受到台风的影响.
反思感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
跟踪训练1(1)设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________.解析从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，
(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m，当水面下降1m后，水面宽为________米.
解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系.设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，
二、坐标法的应用例2用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.求证：AC⊥BD.
证明如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.
反思感悟(1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.②充分利用图形的对称性.③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.④关键点的坐标易于求得.(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果.所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养.
跟踪训练2如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足.利用坐标法证明E是CD的中点.
证明如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设⊙O的半径为r，|OE|＝m，则⊙O的方程为x2＋y2＝r2，设C(m，b1)，D(m，b2).即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，即(m，0).故E是CD的中点.
3随堂演练PARTTHREE
1.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为√解析由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，12345
2.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是A.8B.－4C.6D.无法确定√解析因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，12345
3.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为A.2.4米B.3.5米C.3.6米D.2.0米√解析以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去).12345
4.圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________.12345x2＋y2－2y－9＝0解析当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB中点(0,1)为圆心，则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.
5.已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为_____.12345解析∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，
1.知识清单：(1)直线与圆的方程的应用.(2)坐标法的应用.2.方法归纳：数学建模、坐标法.3.常见误区：不能正确进行数学建模.课堂小结KETANGXIAOJIE
4课时对点练PARTFOUR
1.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是√基础巩固12345678910111213141516
2.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是A.－1B.－2C.－3D.－4√12345678910111213141516解析圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0，即(x＋1)2＋(y－1)2＝2－2a，再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a＝2＋4，∴a＝－2.
3.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为A.6B.4C.3D.2√12345678910111213141516解析如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
4.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为√12345678910111213141516解析x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，
5.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是√12345678910111213141516∴所求最短路程为10－2＝8.
6.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是______.解析圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，12345678910111213141516
7.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为____________.12345678910111213141516x＋y－2＝0解析由题意知，点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
8.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为____h.123456789101112131415161解析如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，所以时间为1h.
9.如图，AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点.12345678910111213141516
证明以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，所以P(－x0，－y0－2r).即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.所以直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点.12345678910111213141516
10.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)12345678910111213141516
解如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程为x2＋y2＝252.即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，所以外籍轮船能被海监船监测到.设监测时间为t，答外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5h.12345678910111213141516
√12345678910111213141516综合运用由图象(图略)知选D.
√它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示).直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点.12345678910111213141516
13.已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围为__________________________.解析由题意知，AB所在直线与圆C相切或相离时，视线不被挡住，12345678910111213141516
14.某圆拱桥的水面跨度是20m，拱高为4m.现有一船宽9m，在水面以上部分高3m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____m时，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01m)1234567891011121314151622
解析以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2，∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故当水位暴涨1.5m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通过桥洞.12345678910111213141516
√12345678910111213141516拓广探究
解析圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，则a2＋b2＋4ab≤0.①若b＝0，则a＝0，不符合题意，12345678910111213141516
12345678910111213141516
16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.(1)求新桥BC的长；12345678910111213141516
解如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.由条件知，A(0,60)，C(170,0)，设点B的坐标为(a，b)，解得a＝80，b＝120.因此新桥BC的长为150m.12345678910111213141516
(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？12345678910111213141516
解设保护区的边界圆M的半径为rm，OM＝dm(0≤d≤60).即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，12345678910111213141516
12345678910111213141516解得10≤d≤35.所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大.
查看更多
