资料简介
2.1.2两条直线平行和垂直的判定本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.课程目标素养A.理解两条直线平行与垂直的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观1.教学重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件2.教学难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标
一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?二、探究新知（一）、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图 示点睛：若没有指明l1,l2不重合,那么k1=k2⇔通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线平行与垂直问题，引导学生回顾初中两直线平行与垂直的几何知识，为探究运用斜率判断直线平行和垂直作知识上的准备。
用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.1.对于两条不重合的直线l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.2.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= . 解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.答案:23．思考辨析(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( )(2)若l1∥l2，则k1＝k2.( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )答案： (1)× 也可能重合．(2)× l1∥l2，其斜率不一定存在．(3)× 不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√ （二）、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1·k2=-1l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2.由坐标系中的直线，让学生理解直线倾斜角和斜率的概念。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
图示点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.4.若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是 . 解析:由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.答案:l1⊥l2三、典例解析例1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).思路分析:斜率存在的直线求出斜率,利用l1∥l2⇔k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.解:(1)k1==1,k2=,k1≠k2,l1与l2不平行.(2)k1=1,k2==1,k1=k2,故l1∥l2或l1与l2重合.(3)k1==-1,k2==-1,则有k1=k2.通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用直线斜率判断两直线平行和垂直的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。
又kAM==-2≠-1,则A,B,M不共线.故l1∥l2.(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2.延伸探究已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为 . 解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;当m≠-2,且m≠-1时,kAB=,kMN=.因为AB∥MN,所以kAB=kMN,即,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合.综上,m的值为0或1.答案:0或1判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断
l1与l2是否垂直;(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意.当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=,k2=.由l1⊥l2,知k1k2=-1,即×=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5.两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是 . 解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).∵kPB≠0,kPA≠0,∴kPA·kPB=-1,通过典例解析，进一步让理解运用直线斜率判断直线平行u垂直的方法，提升推理论证能力，进一步体会坐标法解决问题的基本思想。
即=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).答案:(1,0)或(2,0)例3如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得kOP==t,kRQ==t,kOR==-,kPQ==-.所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,从而OP∥RQ,OR∥PQ.所以四边形OPQR为平行四边形.又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,故四边形OPQR为矩形.延伸探究1将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.”
由斜率公式可得kAB=,kCD=,kAD==-3,kBC==-.所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.又因为kAB·kAD=×(-3)=-1,所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.解:由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,延伸探究2将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”解:因为OPQR为矩形,所以OQ的中点也是PR的中点.设R(x,y),则由中点坐标公式知解得所以R点的坐标是(-2t,2).利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤→ ↓→ ↓→
↓→点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.思路分析:分析题意可知,AB、BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.解:设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,则kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.①若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.又∵kAD=kBC,∴=0,即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为(3,3).
②若AD是直角梯形的直角边,则AD⊥AB,AD⊥CD,kAD=,kCD=.由于AD⊥AB,则·3=-1.又AB∥CD,∴=3.解上述两式可得此时AD与BC不平行.故所求点D的坐标为.综上可知,使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.三、达标检测1．下列说法正确的是( )A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行解析：A中，l1与l2可能重合；B中，l1，l2可能存在其一没斜率；C中，直线也可能与y轴重合；D正确，选D.答案D2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
A.B.aC.-D.-或不存在解析:若a≠0,则l2的斜率为-;若a=0,则l2的斜率不存在.答案:D3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为 . 解析:由题意,得=1,即a=4.答案:44.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= . 解析:设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,由题意,得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,所以有=-1,解得m=.答案:5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.解:kAB=,kBC=-,kCD=,kAD=-3,所以直线AD垂直于直线AB与CD,而且直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.四、小结
五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受
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