资料简介
2.2.1直线的点斜式方程1.掌握直线方程的点斜式和斜截式,并会用它们求直线的方程.2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系.3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.重点：掌握直线方程的点斜式并会应用难点：了解直线方程的点斜式的推导过程．一、自主导学在平面直角坐标系中,直线l过点P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直线l上不同于P的任意一点,如图所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐标来表示直线l的斜率=2,即得方程y=2x+3.这表明直线l上任一点的坐标(x,y)都满足y=2x+3.那么满足方程y=2x+3的每一组(x,y)所对应的点也都在直线l上吗?（一）、直线的点斜式方程名称已知条件示 意 图方程使用范围点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线
点睛1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.3.当直线与x轴平行或重合时,方程可简写为y=y0.特别地,x轴的方程是y=0;当直线与y轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地,y轴的方程是x=0.（二）、直线的斜截式方程名称已知条件示 意 图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距by=kx+b斜率存在的直线点睛1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它的横截距和纵截距都为0.3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距,如直线y=2x-1的斜率k=2,纵截距为-1.（三）、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1k2=-1.点睛：两直线的斜率之积为-1,则两直线一定垂直;两条直线的斜率相等,两直线不一定平行,还可能重合.二、小试牛刀1.直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是( )A.2 B.-1C.3D.-32.方程k=与y-y0=k(x-x0)一样吗?3.直线l的斜截式方程是y=-2x+3,则直线l在y轴上的截距为 . 4.一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
5.已知直线l1:y=x+2与l2:y=-2ax+1平行,则a= . 一、情境导学笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。依照这种思想他创立了“解析几何学”。我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点和斜率就能唯一确定一条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标与点
坐标和斜率之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？二、典例解析例1求满足下列条件的直线方程:(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍;(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.点斜式方程的求法(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.(2)斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.跟踪训练1直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方程.(1)直线l2∥l1;(2)直线l2⊥l1.例2求满足下列条件的直线方程:(1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直;(2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同.
斜截式方程的求法已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接写出直线的方程;已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与y轴上的截距.直线的斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多的直线方程的形式之一.跟踪训练2已知斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线l的方程.1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1B直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为12．直线y＝(x－)的斜率与在y轴上的截距分别是( )A．， B．，－3C．，3D．－，－33．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a＝________.5.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是 . 6．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
参考答案：知识梳理二、小试牛刀1.答案:C2.答案:不一样.后者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,前者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0).3.答案:34.答案:一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.5.解析:由l1∥l2,得-2a=1,所以a=-.答案:-学习过程例1思路分析:先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.解:(1)∵直线y=x的斜率为,∴倾斜角为30°.∴所求直线的倾斜角为60°,其斜率为.∴所求直线方程为y+3=(x-2),即x-y-2-3=0.(2)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5,故直线方程可记为x=5.(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点的直线斜率kPQ==-1.∵直线过点P(-2,3),∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.跟踪训练1解:(1)由已知直线l1的斜率k1=tan135°=-1.因为l2∥l1,所以直线l2的斜率k2=k1=-1.
又直线l2经过点B(-1,4),代入点斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.(2)由已知直线l1的斜率k1=tan135°=-1.因为l2⊥l1,所以直线l2的斜率k2=-=1.又直线l2经过点B(-1,4),代入点斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.例2思路分析:写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程.解:(1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,所以所求直线斜率为-又直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得y=-,即x+3y+6=0.(2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2.由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.由直线方程的斜截式,得y=-2x-2,即2x+y+2=0.跟踪训练2解:设l:y=-x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=b.由题意,得·|b|·=6,∴b2=16,∴b=±4.故直线l的方程为y=-x±4.达标检测1．【答案】C [方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.]2．【答案】B [由直线方程知直线斜率为，令x＝0可得在y轴上的截距为y＝－3.故选B.]3．【答案】y－1＝－(x－2) [直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．]4．【答案】1 [由题意得a＝2－a，解得a＝1.]
5.【答案】(-1,2)6．【答案】直线y＝x＋的斜率k＝，则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°.以直线l的斜率为k′＝tan120°＝－.所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)．
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