直线和椭圆的交点问题

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直线和椭圆的交点问题

2022-09-28
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线和椭圆的交点问题 1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。解法一：由可得，∴即∴且解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即综述：且解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部，即 ∴且二、直线截椭圆所得弦长问题 2．已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB的长. 解法一：设A、B两点坐标分别为和将直线方程代入椭圆方程得关于的方程 ∴ 又。 ∴AB长为。解法二：∵直线过（1，0）点，即椭圆的右焦点∴ ∴AB长为。评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。三、直线截椭圆所得弦中点有关问题 3．已知椭圆方程为，求：（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。解析：设直线与椭圆交点为，，则① ② ①－②得③（1）∵弦中点坐标为（4，1），∴，，则由③式得直线斜率为∴直线方程为，即。（2）设弦中点坐标为，则由③式可得④ 又∵ ∴，即轨迹方程为。（3）同（2），可知轨迹上的点是方程④的解而，∴⑤将⑤代入④可得当时，直线与椭圆相交于和,中点为（4，0），经验证，也在上述椭圆上∴轨迹方程为。查看更多

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