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第24课时 直线的一般式方程对应学生用书P65 知识点一直线的一般式方程1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠0答案 D 解析 要使Ax＋By＋C＝0表示直线，需A、B不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A、B两项均不满足，C项中表示A与B同时不为零，也不满足，只有D项正确．2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )A．－2B．2C．－3D．3答案 D解析 由已知得m2－4≠0，且＝1，解得：m＝3或m＝2(舍去)．知识点二平行、垂直问题3．直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则n的值为( )A．－12B．－2C．0D．10答案 A解析 由两直线垂直得2m－20＝0，m＝10，将(1，p)代入10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入2x－5y＋n＝0得2＋10＋n＝0，n＝－12．4．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线
C．不过点P且与l垂直的直线D．不过点P且与l平行的直线答案 D解析 ∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C≠0，∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P．又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D．知识点三直线一般式方程的应用5．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)斜率是1．解 (1)由题意，得由①式，得m≠3且m≠－1．由②式，得3m2－4m－15＝0，得m＝3或m＝－．∴m＝－．(2)由题意，得由③式，得m≠－1且m≠．由④式，得3m2－m－4＝0，得m＝－1或m＝．∴m＝．6．求分别满足下列条件的直线l的一般式方程：(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A(1，0)，B(m，1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．解 (1)设直线l的方程为y＝x＋b．令x＝0，得y＝b．
令y＝0，得x＝－b，∴＝6，解得b＝±3．∴直线l的方程为y＝x±3，化为一般式为3x－4y±12＝0．(2)当m≠1时，直线l的方程是＝，即y＝·(x－1)；当m＝1时，直线l的方程是x＝1．综上，所求直线l的方程是x－(m－1)y－1＝0或x－1＝0．(3)设l在x轴，y轴上的截距分别为a，b．当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1．∵直线过(4，－3)，∴－＝1．又∵|a|＝|b|，∴解得或当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l的方程为y＝－x．综上所述，直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0．对应学生用书P66 一、选择题1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )A．150°B．30°C．60°D．120°答案 A解析 直线的斜率k＝－＝－，故其倾斜角为150°．2．两直线l1：mx－y＋n＝0和l2
：nx－y＋m＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )答案 B 解析 化一般式为斜截式，得l1：y＝mx＋n，l2：y＝nx＋m，可见两条直线的斜率、截距恰好互换，所以选B．3．已知直线mx＋ny＝－1平行于直线4x＋3y＋5＝0且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为( )A．4和3B．－4和3C．－4和－3D．4和－3答案 C 解析 由题意得n≠0，于是直线可化为y＝－x－．由－＝－，－＝，得m＝－4，n＝－3．4．已知直线(a＋2)x＋2ay－1＝0与直线3ax－y＋2＝0垂直，则实数a的值是( )A．0B．－C．0或－D．－或答案 C解析 当a＝0时，两直线分别为2x－1＝0，－y＋2＝0，此时两直线显然垂直；当a≠0时，两直线的斜率分别为－，3a，所以－·3a＝－1，解得a＝－．故选C．5．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A．[30°，60°)B．(30°，90°)C．(60°，90°)D．[30°，90°]答案 B解析
易知直线l过定点(0，－)，画出图象如图所示，由图分析，可知直线l的斜率k＞kAB＝，故直线l的倾斜角α∈(30°，90°)．二、填空题6．直线l与直线m：3x－y－2＝0关于x轴对称，则这两条直线与y轴围成的三角形的面积为________．答案 解析 由题意可得直线l：3x＋y－2＝0，则直线l，m与y轴围成的三角形的面积为×4×＝．7．如果对任何实数k，直线(3＋k)x＋(1－2k)y＋1＋5k＝0都过一个定点A，那么点A的坐标是________．答案 (－1，2)解析 解法一：取k＝－3，方程为7y－14＝0，y＝2；取k＝0．5，方程为3．5x＋3．5＝0，x＝－1．所以点A的坐标是(－1，2)；将点A的坐标代入方程得－(3＋k)＋2(1－2k)＋1＋5k＝0，所以直线恒经过点A．解法二：将k当作未知数，则方程可写成(x－2y＋5)k＋3x＋y＋1＝0．因为对于任意k值，等式成立，所以解得所以点A的坐标是(－1，2)．8．已知直线l与直线3x＋4y－7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l的方程为________．答案 3x＋4y±24＝0解析 设l：3x＋4y＋m＝0(m≠－7)，令y＝0得x＝－；令x＝0得y＝－．∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴××＝24，∴m＝±24．∴直线l的方程为3x＋4y±24＝0．三、解答题9．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解 (1)当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0，∴a＝2，此时直线l的方程为3x＋y＝0；当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a－2，∴＝a－2，解得a＝0或a＝2(舍去)，∴直线l的方程为x＋y＋2＝0．综上所述，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0．(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，∵l不经过第二象限，∴解得a≤－1．综上，可知实数a的取值范围是(－∞，－1]．10．求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；(2)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12．解 (1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋，所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为－，则所求直线的斜率k＝2×＝－．又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0．(2)设直线与x轴的交点为(a，0)，因为点M(0，4)在y轴上，所以由题意有4＋＋|a|＝12，解得a＝±3，所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0．
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