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3.2.3直线的一般式方程
目标：1.掌握直线方程的一般式. 2.能根据条件熟练地求出直线的方程.
名称几何条件方程适用范围复习回顾点P(x0,y0)和斜率k点斜式斜截式两点式截距式斜率k,y轴上的纵截距b在x轴上的截距a,在y轴上的截距bP1(x1,y1),P2(x2,y2)有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x、y轴直线不垂直于x、y轴的直线，不过原点的直线
（二）填空1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程____________2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程_________思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程?所有的直线方程是否都是二元一次方程？
上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？?x+?y+?=0上述四式都可以写成直线方程的一般形式：Ax+By+C=0,A、B不同时为0。新课讲解
直线的一般式方程:Ax+By+C=0（A，B不同时为0）探究：在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线为：平行于x轴(2)平行于y轴(3)与x轴重合(4)与y轴重合A=0即By+C=0B=0即Ax+C=0A=0且C=0即y=0B=0且C=0即x=0
例题分析例1、已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.注意对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.
根据下列条件,写出直线的方程,并把它化成一般式(1)经过点A(8,-2),斜率是;(2)经过点B(4,2),平行于x轴;(3)在x轴,y轴上的截距分别是,-3.练习
例2:求直线l:3x+5y-15=0的斜率以及它在x轴,y轴上的截距,并画图.练习：求直线3x+2y+6=0的斜截式和截距式方程
巩固训练（二）设直线l的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为零）根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的关系：直线l过原点:____________直线l过点(1,1):___________直线l平行于轴:___________直线l平行于轴:____________C=0A+B+C=0A=0,B=0,C=0A=0,B=0,C=0
例3：设直线l的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6根据下列条件确定m的值（1）l在x轴上的截距是-3；（2）斜率是-1。解：（1）由题意得(2)由题意得
巩固训练（三）1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾斜角为450，则m的值是（）（A）3（B）2（C）-2（D）2与32、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截距为3，则m的值是__________B-6
例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程。解：设直线为Ax+By+C=0，∵直线过点（0，3）代入直线方程得3B=-C，B=－C/3∴A=±C/4又直线与x，y轴的截距分别为x=-C/A,y=-C/B由三角形面积为6得∴方程为所求直线方程为3x-4y+12=0或3x+4y-12=0xOy3
总结：直线方程名称已知条件标准方程使用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式斜率k和y轴上的截距b斜率k和一点点和点在x轴上的截距a,即点在y轴上的截距b,即点A,B不同时为零不包括过原点的直线以及与坐标轴平行的直线不包括坐标轴以及与坐标轴平行的直线不包括y轴及与y轴平行的直线不包括y轴及平行于y轴的直线
例5.已知A（2,2）和直线l:3x+4y-20=0求：（1）过点A和直线l平行的直线方程（2）过点A和直线l垂直的直线方程
变式训练:已知三直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y-1=0,求证:l1∥l2,l1⊥l3.证明:把l1、l2、l3的方程写成斜截式得
例6:已知两条直线方程l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,当m为何值时: (1)两直线互相平行; (2)两直线互相垂直.
解:(1)当m=0时,l1:y+4=0,l2:x+3=0,显然l1与l2不平行;
(2)由(1)知,当m=0时,显然有l1⊥l2;当m≠0时,若l1⊥l2,则有 此时m不存在.综上知,当m=0时,l1与l2互相垂直.
练1.(福建高考)已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于() A.2B.1 C.0D.-1解析:由题意得a(a+2)=-1,即(a+1)2=0,∴a=-1.答案:D
练2.(上海高考)已知两条直线l1:ax+3y-3=0, l2:4x+6y-1=0,若l1∥l2,则a=________.2
总结：两条直线的几种位置关系直线方程位置关系重合平行垂直相交
题型三综合问题例3:求证:不论m取什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5总过某一定点.分析:由题意知,不论m取什么值,直线总是通过定点,也就是说与m的取值无关,因此可将方程变形为m的方程,令m的系数为0,解方程组得出定点坐标.
证明:方法1:把原方程变形得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数都成立, ∴x+2y-1=0, x+y-5=0.∴x=9, y=-4.即直线过定点(9,-4).
1、若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线，则实数m的取值范围是__________.m≠02、设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．3、设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，根据下列条件分别确定m的值。(1)l在x轴上的截距是-3；(2)l的斜率是-1。
10.已知△ABC在第一象限,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°,求:
(1)AB所在直线的方程; (2)AC和BC所在直线的方程; (3)AC,BC所在直线与y轴的交点间的距离.分析:求AB的方程时,先观察两点坐标易得,AC,BC通过画图易求其斜率,然后点斜式写出即可.
解:(1)因为kAB==0,所以AB所在直线方程为y=1. (2)kAC=tan60°=,所以AC所在直线方程为y-1=(x-1),即x-y+1-=0,又kBC=tan(180°-45°)=-tan45°=-1,所以BC所在直线方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0.(3)由直线AC的方程 令x=0,则
由直线BC的方程x+y-6=0,令x=0,则y=6.所以两交点间的距离为
名称已知条件标准方程适用范围点斜式斜截式两点式截距式过点与x轴垂直的直线可表示成，过点与y轴垂直的直线可表示成。小结：
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