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8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行8.5.2 直线与平面平行学习目标核心素养1.能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)2．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)3．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养．2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养.1．基本事实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⇒a∥c.2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．直线与平面平行的判定及性质定理条件结论图形语言符号语言判定如果平面外一条直线与此平面内该直线与此平面平行⇒l∥α9
的一条直线平行性质一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交该直线与交线平行⇒l∥m思考：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？[提示] 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对B [因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是( )A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA [由直线与平面平行的判定定理知选A.]3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有___________条．1 [如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]9
基本事实4、等角定理的应用【例1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[思路探究] (1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．[解] (1)∵ABCDA1B1C1D1为正方体．∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，9
∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1.1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．1．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.[证明] (1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.9
直线与平面平行的判定【例2】 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[思路探究] (1)要证EH∥平面BCD，只要证EH∥BD便可；(2)要证BD∥平面EFGH，只要证BD∥EH便可．[解] (1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实4等．2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.9
[证明] 如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，∴PM綊QN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.直线与平面平行的判定与性质[探究问题]1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？[提示] 不是．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示] 若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．【例3】 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[思路探究] 先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．[解] 已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.9
证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．[解] 已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．1．判断正误(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．( )9
(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．( )(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．( )(4)如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交D [直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．]3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝.135° [由等角定理可知β＝135°.]4．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是．平行或相交或b在α内 [如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．]5．过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.[证明]如图所示，∵CC1∥BB1，9
∴CC1∥平面BEE1B1.又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，∴CC1∥EE1.由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1.9
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