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6.2.4 向量的数量积学习目标核心素养1.平面向量的数量积．(重点)2.投影向量的概念．(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养.2.通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养.1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．②当θ＝π时，向量a，b反向．③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b.2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示] 数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．3．投影向量10
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．4．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)|a·b|≤|a||b|.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.思考：a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示] (a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．1．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝( )A. B. C．1 D．－A [a·b＝1×1×cos60°＝.]10
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )A.B.C.D.C [由条件可知，cosθ＝＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.]3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为60°，那么a·b等于________． [a·b＝|a||b|cos60°＝2××＝.]4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为________．2 [设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影|a|cosθ＝，所以a·b＝|b||a|cosθ＝3×＝2.]向量数量积的计算及投影【例1】 (1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1) [设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投影为|a|cosθ＝＝a·e1＝(2e1－e2)·e1＝2e－e1·e2＝2－1×1×cos＝.](2)[解] ①(a＋b)·(a－b)10
＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝100－9＝91.②因为|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°，所以a·b＝10×3×cos120°＝－15，所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．求投影的两种方法：(1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cosθ.(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．(2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a.[解] (1)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4.(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos120°×3＝－3.10
与向量模有关的问题【例2】 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|.[思路探究] 灵活应用a2＝|a|2求向量的模．(1)2 [|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝＝2.](2)[解] 因为|2a＋b|＝，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2|b|－6＝0，解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝，则|b|＝( )A. B. C．1 D．210
C [设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cosθ，又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝7，所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－(舍去)或|b|＝1.故选C.]与向量垂直、夹角有关的问题[探究问题]1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示] a⊥b⇔a·b＝0.2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？[提示] |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ.两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|.当且仅当|cosθ|＝1，即cosθ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cosθ＝.【例3】 (1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．[思路探究] (1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于0且方向不相同．(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角．(1)(0,1)∪(1，＋∞) [∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.10
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.](2)[解] 由已知条件得即②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解] ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0.当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．[解] 由已知得|e1＋ke2|＝＝，|ke1＋e2|＝＝，(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则cos＝＝，即＝，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝＝2±.10
1．求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cosθ＝求解．(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cosθ＞0时，θ∈；当cosθ＜0时，θ∈，当cosθ＝0时，θ＝.1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0≤θ＜时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，＜θ≤π时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝时)．2．两非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0，求向量模时要灵活运用公式|a|＝.3．要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab＝0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0.实际上由a·b＝0可推出以下四种结论：①a＝0，b＝0；②a＝0，b≠0；③a≠0，b＝0；④a≠0，b≠0，但a⊥b.(2)在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线.10
1．判断正误(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0.( )(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.( )(4)若a·b＝a·c，则b＝c.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )A．4 B．3 C．2 D．0B [因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3，所以选B.]3．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b的方向上的投影为________． [设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ＝12，又|b|＝5，所以|a|cosθ＝，即a在b方向上的投影为.]4．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.[解] a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×＝.|a＋b|＝＝＝＝5.|a－b|＝＝10
＝＝5.10
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