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6.2.3向量的数乘运算
一二三一、向量的数乘运算1.思考(1)质点从点O出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量是多少?提示3a(2)已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).
一二三(3)上述两个和向量有什么几何意义?提示类似数的乘法,我们把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,把(-a)+(-a)+(-a)记作3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.
一二三2.填空
一二三3.做一做(1)若|a|=3,|b|=,则|-2a|=,|3b|=.(2)若a与b是相反向量,则5a与-4b的方向.
一二三二、数乘向量的运算律1.思考(1)我们学习过的实数乘法有哪些运算律?提示①乘法交换律:ab=ba;②乘法结合律:(ab)c=a(bc);③乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.其中a,b,c表示任意实数.
一二三(2)已知向量a,请通过作图判断以下结论是否成立.①3(2a)=6a;②(2+3)a=2a+3a;③2(a+b)=2a+2b.提示各式均成立(如图).
一二三2.填空(1)数乘向量的运算律①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.(2)向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
一二三3.做一做A.2a+3bB.a-3bC.2a-3bD.2a-2b答案:C
一二三三、共线向量定理1.思考(1)数乘向量λa(λ∈R)与原向量a(a≠0)之间有什么关系?提示设b=λa,可知a与b共线.(2)上述结论反过来如何表述?还成立吗?提示反过来可表述为:如果向量a(a≠0)与b共线,那么存在唯一的λ∈R,使b=λa成立.这一结论是正确的,证明如下:已知a(a≠0)与b共线,由向量数乘的定义知:②当b=0时,b=λa(a≠0),此时λ=0.
一二三(3)向量共线定理中为什么要注明“a≠0”?提示如果a=0,则λa=0,当b为非零向量时,a与b共线,但b≠λa,定理不成立;当b=0时,b=λa,但λ可以取任意实数.2.填空(1)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(2)要证明向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可.(3)若b=λa(λ∈R),则a与b共线.
一二三3.做一做(1)若向量e1,e2不共线,则下列各组中,向量a,b共线的有.(填序号)①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.答案:①②③解析:①中,a=-b,所以a,b共线;②中,b=-2a,所以a,b共线;③中,a=4b,所以a,b共线;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共线.
一二三(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.①向量λa与a的方向不是相同就是相反.()②若向量a和b共线,则必有b=λa.()答案:①×②×③×
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练向量的线性运算例1(1)化简下列各向量表达式:分析(1)根据向量的线性运算法则求解;(2)运用实数的二元一次方程组的解法求解.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并,即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向量.运算时要遵循括号内运算优先的原则.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为a=,b=.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练共线向量定理及其应用角度1向量共线的判定例2判断下列各小题中的向量a,b是否共线(其中e1,e2是两非零不共线向量).(1)a=5e1,b=-10e1;(3)a=e1+e2,b=3e1-3e2.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)∵b=-2a,∴a与b共线.(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0.∵e1与e2是两非零不共线向量,∴1-3λ=0,1+3λ=0.这样的λ不存在,因此a与b不共线.反思感悟向量共线的判定一般是用其判定定理,即a是一个非零向量,若存在唯一一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.解题过程中,需要把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示,由此判断共线.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2用已知向量表示未知向量答案:C反思感悟用已知向量来表示另外一些所求未知向量是解向量相关问题的基础,除了要利用向量的加、减、数乘运算外,还应充分利用平面几何的一些定理、性质,如三角形的中位线定理,相似三角形对应边成比例等,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量进行求解.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度3证明三点共线问题反思感悟1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线,两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.2.若A,B,C三点共线,则向量在同一直线上,因此必定存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理是实现线性关系的依据.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)求证:A,B,M三点共线;(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度4求参问题答案:A
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练向量线性运算的综合应用角度1求解三角形的面积比答案:D
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2解决三角形的四心问题答案:B
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练A.外心B.重心C.垂心D.内心答案:B
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练对共线向量的条件理解不清致误典例已知非零向量e1和e2,试判断3e1+2e2与3e1-2e2是否共线.错解:若存在实数λ,使3e1+2e2=λ(3e1-2e2),则3e1+2e2=3λe1-2λe2,即(3-3λ)e1=(-2λ-2)e2,错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示错解中对向量共线的条件理解不清,只有当e1,e2不共线,且λe1=μe2时,才有λ=μ=0,否则不一定成立.题目条件没有限定e1和e2不共线,因此,上述解法是错误的.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练正解:①若向量e1和e2不共线,由错解过程可知3e1+2e2与3e1-2e2不共线.②若向量e1和e2共线,可设e2=ke1(k∈R),则3e1+2e2=(3+2k)e1,3e1-2e2=(3-2k)e1,3+2k与3-2k中至少有一个不为0,不妨设3-2k≠0,防错有术本题容易对向量共线的条件理解不清而致误,即没有考虑e1与e2共线的情况.要注意结论“若非零向量e1,e2不共线,且λe1=μe2,则必有λ=μ=0”成立的条件是e1,e2不共线,因此在应用该结论解决相关问题时,务必注意这一条件.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是()A.a与λa的方向相同B.a与-λa的方向相反C.a与λ2a的方向相同D.|λa|=λ|a|答案:C解析:因为λ≠0,所以λ2>0,于是向量a与λ2a的方向相同.2.4(a-b)-3(a+b)-b等于()A.a-2bB.aC.a-6bD.a-8b答案:D解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.下列说法正确的个数为()①0·a=0;②0·a=0;③a·0=0;④a·0=0.A.1B.2C.3D.4答案:B解析:本题考查数乘向量运算的理解,由于数乘向量的结果是一个向量而不是一个数,因此本题所给的四种说法中只有②与③的结果是一个向量,因此选B.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.已知两个非零向量a,b不共线,且ka+3b与2a+kb共线,求实数k的值.解:因为ka+3b与2a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b.
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