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第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
一二一、测量问题中的常用概念1.填空(1)基线①定义:在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线.②性质:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.(2)坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫做坡角,坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度,如图所示,α为坡角,坡比i==tanα.
一二(3)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角,目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示).(4)视角观察物体的两端,视线张开的夹角叫做视角,如图所示.
一二(5)方位角与方向角①方位角从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α,如图所示.方位角的取值范围为(0°,360°).②方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角.如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°,如图所示.
一二2.做一做(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系是()A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°(2)若P在Q的北偏东37°方向上,则Q在P的()A.东偏北53°方向上B.北偏东37°方向上C.南偏西37°方向上D.南偏西53°方向上(3)下图中,两个方向对应的方位角分别等于.
一二答案:(1)B(2)C(3)30°,240°解析:(1)如图,从A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角,由水平线平行,得α=β.(2)如图所示,Q在P的南偏西37°的方向上.(3)左题图中方向对应的方位角等于30°,右题图中方向对应的方位角等于240°.
一二二、解决实际测量问题的思路和步骤1.思考怎样用正、余弦定理解决与角度有关的问题?提示测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题,如确定目标的方位,观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念,确定所求的角在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.通常是根据题意,先从实际问题中抽象出一个或几个三角形,再通过解这些三角形,得到所求的量,从而得到实际问题的解.解题时应认真审题,结合图形去选择定理,这是最关键、最重要的一步.
一二2.填空(1)基本思路(2)一般步骤①分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意图;②建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立一个解三角形的数学模型;③求解利用正弦定理、余弦定理解三角形,求得数学模型的解;④检验:检验所求的解是否符合实际问题,从而得出实际问题的解.
一二3.做一做海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C岛间的距离是()答案:D
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练测量距离问题角度1求可到达点与不可到达点之间的距离问题例1如图,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200m后到达点B,测得该参照物与前进方向成75°角.(1)求点A与参照物C的距离;(2)求河的宽度.分析根据图形,先由已知求出∠ACB,再利用正弦定理求得AC的长度,最后在直角三角形中求出河的宽度.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.测量从一个可到达的点与一个不可到达的点之间的距离问题,一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题,从而运用正弦定理去解决.2.如图,点B为不可到达点,求A,B的距离的具体解题步骤是:(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;(2)测量AC,∠BAC,∠BCA;
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练1如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,则河的宽度为m.答案:60解析:由题意,得∠ACB=180°-30°-75°=75°,所以△ABC为等腰三角形.因为河宽即边AB上的高,这与边AC上的高相等,过点B作BD⊥AC于D,所以河宽=BD=120sin30°=60(m).
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2求不可到达的两点之间的距离问题例2如图,隔河看到两个目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两个目标A,B之间的距离.分析要求出A,B之间的距离,把AB放在△ABC(或△ADB)中,但不管在哪个三角形中,AC,BC(或AD,BD)这些量都是未知的.把AC,BC(或AD,BD)放在△ACD,△BCD中求出它们的长.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是先把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题,再把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题,最后运用正弦定理解决问题.2.如图所示,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距离,具体步骤是:(1)取基线CD;(2)测量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA;(3)在△ACD中,解三角形得AC;在△BCD中,解三角形得BC;(4)在△ABC中,利用余弦定理得
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)A处与D处的距离;(2)灯塔C与D处的距离.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练测量高度问题例3如图,为了测量河对岸的塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200m,在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.分析先在Rt△ABC和Rt△ABD中,用AB表示BC和BD,再在△BCD中,由余弦定理建立方程,求得AB.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.在测量底部不可到达的建筑物的高度时,可以借助正弦定理或余弦定理,构造两角(两个仰角或两个俯角)和一边或三角(两个方向角和仰角)和一边,如图所示.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.解决测量高度问题的一般步骤是:
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3如图,在山顶铁塔上B处测得一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.若铁塔高为m米,则山高CD为米.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练测量角度问题角度1实际测量中的角度问题例4地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向,且距离他40m,之后该测绘人员沿正北方向行走了40m,达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离.分析画出图形,在三角形中,利用余弦定理求出内角的大小以及边的长度,从而确定相应的方位角以及距离.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练因为AB=40m,所以AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠PBA=120°.因此测绘人员到达点B时,目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°-120°=60°,且目标参照物P与他的距离为40m.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟解决实际测量中的角度问题的基本步骤(1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方向;(2)根据题意作出示意图;(3)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小;(4)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练4如图所示,从A到B,方位角是50°,距离是470m;从B到C,方位角是80°,距离是860m;从C到D,方位角是150°,距离是640m,试计算从A到D的方位角和距离.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2航海与追及中的角度问题例5某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°,距离为10nmile的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h的速度向某小岛靠拢,我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.分析本题中所涉及的路程在不断变化,但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等,先设出所用时间t,找出等量关系,再解三角形.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟1.本题欲求方位角,先求边长,而要求边长,需先求时间.由于舰艇与渔轮同时在移动,因此相遇点不确定,即舰艇的航向不确定,解题时画图的关键是设出相遇点B,画出可以求解的三角形.2.解决这类问题,首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,根据题意画出正确的示意图,将实际问题转化为数学问题,运用正弦定理或余弦定理求解,体现了数形结合与方程的数学思想方法.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究本题中其他条件不变,将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10nmile/h”,将“我海军舰艇的速度”改为“10nmile/h”,求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用典例如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?【审题视角】(1)利用正弦定理求出AB的长;(2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练方法点睛与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想,就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数及各量的值,使问题获得解决,所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件,它架设了由已知探索未知的桥梁.函数与方程思想在数学中有着广泛的应用,本章在利用正、余弦定理求角或边长时,往往渗透着函数与方程思想.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100m,点C位于BD上,则山高AB等于()答案:D
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.我舰在敌岛A处南偏西50°的B处,且A,B的距离为12nmile,发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10nmile的速度航行,若我舰要用2小时追上敌舰,则速度大小为()A.28nmile/hB.14nmile/hC.14nmile/hD.20nmile/h答案:B解析:如图,设我舰在C处追上敌舰,速度为v,在△ABC中,AC=10×2=20(nmile),AB=12nmile,∠BAC=120°,∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,∴BC=28nmile,
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.一艘轮船从A出发,沿南偏东70°的方向航行40nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东35°的方向航行了40nmile到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C,那么此船航行的方向和路程分别为()答案:C
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探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12nmile,渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2h追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sinα的值.
探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:(1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12nmile,AC=10×2=20(nmile),∠BCA=α.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,解得BC=28nmile.
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