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课时分层作业(十)平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题→→→→1．在△ABC中，若(CA＋CB)·(CA－CB)＝0，则△ABC()A．是正三角形B．是直角三角形C．是等腰三角形D．形状无法确定→→→→C[由条件知CA2＝CB2，即|CA|＝|CB|，即△ABC为等腰三角形．]2．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为()A．30°B．60°C．90°D．120°D[由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，所以θ＝120°.]3．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满→→→→→1足OP＝OA＋(AB＋AC)，则|AP|等于()21A．2B．1C.D．42→→→1B[设BC边的中点为M，则(AB＋AC)＝AM，2→→→→∴OP＝OA＋AM＝OM，∴P与M重合，1
→→1∴|AP|＝|BC|＝1.]2→→4．若向量OF1＝(1,1)，OF2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(5,0)B．(－5,0)C.5D．－5C[F221＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，则|F1＋F2|＝－2＋－1＝5.]5．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝()A．1B．2C．3D．4A[建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)，则A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，→→则AC＝(1，t)，BC＝(－1，t)．→→由AC⊥BC知AC·BC＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1.]二、填空题6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60m，若纤绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为________J.15003[所做的功W＝60×50×cos30°＝15003(J)．]→→7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP·OA＝4.则点P的轨迹方程是________．→→x＋2y－4＝0[OP·OA＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，∴x＋2y－4＝0，故填x＋2y－4＝0.]→→→8．在四边形ABCD中，已知AB＝(4，－2)，AC＝(7,4)，AD＝(3,6)，则四边2
形ABCD的面积是________．→→→→30[BC＝AC－AB＝(3,6)＝AD.→→又因为AB·BC＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD为矩形，→所以|AB|＝42＋－22＝25，→|BC|＝32＋62＝35，→→所以S＝|AB||BC|＝25×35＝30.]三、解答题9．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．→→→→[解]设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b，→而|BD|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2，→所以5－2a·b＝4，所以a·b＝1，又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b2＝6，→所以|AC|＝6，即AC＝6.10．质量m＝2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距离(g取9.8N/kg)．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？3
[解](1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示．拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20(J)．支持力FN的方向与位移方向垂直，不做功，所以WN＝FN·s＝0.重力G对物体所做的功为WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．[等级过关练]→→→→1．△ABC中，若动点D满足CA2－CB2＋2AB·CD＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心→→→→→→→→A[取AB的中点E，则CA2－CB2＋2AB·CD＝(CA＋CB)·(CA－CB)＋→→→→→→→→→→→2AB·CD＝2CE·BA＋2AB·CD＝2AB·(CD－CE)＝2AB·ED＝0，∴AB⊥ED，即点D在AB的垂直平分线上，∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．]2．河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．13m/sB．12m/sC．17m/sD．15m/sA[设小船的静水速度为v1，河水的流速为v2，静水速度与河水速度的合速度为v，为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，4
即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，即静水速度|v22221|＝|v|＋|v2|＝12＋5＝13(m/s)．]5
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