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新教材人教版高中数学必修第二册课时同步检测8.3.2《圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积》（解析版）

2022-08-16
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第八章立体几何初步8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积一、基础巩固1.已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】设两个球的半径分别为和，则2．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为A．B．C．D．【答案】C【解析】设球的半径为，则，解得，所以圆柱的底面半径，母线长为，所以圆柱的侧面积为，故选C．3．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A．πB．πC．16πD．32π 【答案】B【详解】如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，的外接圆是球的大圆，设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝πR3＝π×23＝π，3．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由题可知，r=h=，则，∴侧面积为故选A3.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】，如下图所示：若三棱锥体积最大值为，则点到平面的最大距离：即：设球的半径为，则在中：，解得：球的表面积：4.圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为( )A．3B．5C．6D．7【答案】D【解析】设圆台较小底面圆的半径为，由已知有另一底面圆的半径为，而圆台的侧面积公式为，5.一个三棱锥的三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5，则它的外接球的表面积是()A．B．C．D．【答案】B【详解】由题三条侧棱两两垂直且长分别为3、4、5的三棱锥与长宽高分别为3、4、5的长方体外接球相同.且长方体体对角线长为外接球直径,又,故外接球表面积.6.一个正方体的表面积等于，则该正方体的内切球的体积为（） A．B．C．D．【答案】D【详解】设正方体棱长为，则正方体内切球半径为棱长的一半，即体积7.正四面体的俯视图为边长为1的正方形（两条对角线一条是虚线一条是实线），则正四面体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】如图，该正四面体可以看成棱长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体，所以正四面体的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，所以外接球的半径为，则该外接球的表面积为，8.在三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，设长方体的长宽、高分别为a，b，c，则有整理得，则该棱锥外接球的半径，球．9．已知菱形的边长为，，将沿折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知得为等边三角形，对角线,将沿折起，使A，C两点的距离为，折起后三棱锥为正四面体，各棱长都是，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，设正方体的棱长为,则正方体的面对角线为，所以正方体的体对角线为,其中为正方体的外接球半径，由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，∴正四面体ABCD的外接球表面积为, 10．已知四面体，平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】因为平面，，所以可将四面体看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，如图所示：则四面体的外接球即直三棱柱的外接球，因为底面三角形的外心到三角形的顶点的长度为，所以直三棱柱的外接球的半径，则球的表面积，一、拓展提升13.如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，（1）求圆锥的表面积和体积.（2）求圆柱的表面积.【答案】（1）；；（2）.【详解】（1）由题意圆锥的高为，所以圆锥的表面积为，体积为．（2）设圆柱半径为，则，，所以圆柱的表面积为．14.已知一圆锥的母线长为10，底面圆半径为6.（1）求圆锥的高；（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.【答案】（1）8（2）【详解】（1）据题意知，圆锥的高（2）据（1）求解知，圆锥的高为，设圆锥内切球的半径为，则，所以所以所求球的表面积.15.如图所示，在四边形中，，，，，，将四边形绕旋转一周所形成的一个几何体．（Ⅰ）求这个几何体的表面积；（Ⅱ）求这个几何体的体积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【详解】延长，过作交于；过作交于；过作交于（Ⅰ）令，，，，，在中，，，又（Ⅱ）几何体体积：. 查看更多

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