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第六章平面向量及其应用A（基础卷）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2019秋•公安县期末）如果向量（0，1），（﹣2，1），那么|2|＝（ ）A．6B．5C．4D．3【解答】解：由向量（0，1），（﹣2，1），所以2（﹣4，3），由向量的模的运算有|2|5，故选：B．2．（2020•葫芦岛模拟）在矩形ABCD中，AB＝1，AD，点M在对角线AC上，点N在边CD上，且，，则（ ）A．B．4C．D．【解答】解：，∴（）•（）．
故选：C．3．（2020•黄山二模）如图，在等腰直角△ABC中，斜边6，且2，点P是线段AD上任一点，则的取值范围是（ ）A．[0，4]B．[]C．[0，]D．[]【解答】解：AB＝AC＝3，，（），设λ，则（1），∴（）•[（1）]（1）10λ2﹣6λ，∵0≤λ≤1，∴当λ时，取得最小值，当λ＝1时，取得最大值4．故选：B．4．（2020•茂名二模）设，是两个不共线的平面向量，已知，，若，则k＝（ ）A．2B．﹣2C．6D．﹣6
【解答】解：∵，，，∴，解得k＝﹣6．故选：D．5．（2020春•扬州期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于（ ）A．B．C．D．2【解答】解：A＝60°，a，由正弦定理可得，2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，则2．故选：D．6．（2020春•房山区期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝2，A＝45°，B＝30°，那么b＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得，，所以b，故选：A．7．（2020•罗湖区校级模拟）海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S，p；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦﹣秦九韶公式．现在有周长为10+2的△ABC满足sinA：sinB：sinC＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（ ）A．B．C．D．12【解答】解：∵sinA：sinB：sinC＝2：3：，∴a：b：c＝2：3：，∵△ABC周长为10+2，即a+b+c＝10+2，
∴a＝4，b＝6，c＝2，∴p5，∴△ABC的面积S6．故选：C．8．（2020•山西模拟）已知向量，，，则当取最小值时，实数t＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：设P（x，y）；因为向量，，，可得（x，y﹣2）＝t（1，﹣2）；故；∴；当t时取最小值．故选：C．二．多选题（共4小题）9．（2020春•江阴市期中）在△ABC中，，AC＝1，，则角A的可能取值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由正弦定理可得，即，所以sinC，所以C或，当C时，A，
当C时，A．故选：AD．10．（2020•青岛模拟）已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2，，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）A．∥B．C．D．S＝4【解答】解：已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2，所以A，P，C三点共线．点P为线段AC的三等分点，由于，所以A，B，Q三点共线，且B为线段AQ的中点，如图所示：所以①不平行，故选项A错误．②根据三角形法则：．③④△ABC的面积为3，所以，则S△ABP＝2，S△BCP＝1，且S△ABP＝S△BPQ＝2，所以S△APQ＝2+2＝4．故选：BD．11．（2020春•正定县校级月考）以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ）
A．在△ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinCB．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝bC．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B，若A＞B，则sinA＞sinB都成立D．在△ABC中，【解答】解：对于A，由正弦定理，可得：a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故正确；对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B，或2A+2B＝π，即A＝B，或A+B，∴a＝b，或a2+b2＝c2，故B错误；对于C，在△ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，正确；对于D，由正弦定理，可得右边2R＝左边，故正确．故选：ACD．12．（2020•泰安模拟）已知向量（2，1），（1，﹣1），（m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，且（）∥，下列说法正确的是（ ）A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b方向上的投影为C．2m+n＝4D．mn的最大值为2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，向量（2，1），（1，﹣1），则•2﹣1＝1＞0，则、的夹角为锐角，A错误；对于B，向量（2，1），（1，﹣1），则向量a在b方向上的投影为，B错误；对于C，向量（2，1），（1，﹣1），则（1，2），若（）∥，则（﹣n）＝2（m﹣2），变形可得2m+n＝4，C正确；
对于D，由C的结论，2m+n＝4，而m，n均为正数，则有mn（2m•n）（）2＝2，即mn的最大值为2，D正确；故选：CD．三．填空题（共4小题）13．（2020•新课标Ⅰ）设向量（1，﹣1），（m+1，2m﹣4），若⊥，则m＝ 5 ．【解答】解：向量（1，﹣1），（m+1，2m﹣4），若⊥，则•m+1﹣（2m﹣4）＝﹣m+5＝0，则m＝5，故答案为：514．（2020•新课标Ⅰ）设，为单位向量，且||＝1，则||＝ ．【解答】解：，为单位向量，且||＝1，||2＝1，可得，1+21＝1，所以，则||．故答案为：．15．（2020•葫芦岛模拟）若tanα，向量（1，﹣1），（cos2α，sin2α），则• ．【解答】解：向量（1，﹣1），（cos2α，sin2α），tanα，则•．故答案为：．16．（2020春•房山区期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a＝3，b，c
＝2，那么cosA＝ ．【解答】解：由余弦定理可得，cosA．故答案为：四．解答题（共5小题）17．（2020春•胶州市期中）已知，α∈R．（1）若向量，求的值；（2）若向量，证明：．【解答】解：（1）因为，所以tanα，所以．（2）证明：因为，所以6（sin2α﹣cos2α）+5（1+cos2α）＝0，所以．18．（2019秋•滨海县期末）如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，，．（1）求CD的长；（2）求的值．【解答】解：（1）∵，
∴，∴，∴，即CD的长为；（2），∴．19．（2020•重庆模拟）已知函数．（1）求函数f（x）的单调性；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，c＝1，求△ABC的面积．【解答】解：（1），由，得，k∈Z；由，得，k∈Z．故f（x）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z．（2），则，∵A∈（0，π），∴，即，由正弦定理得，即，解得，∴或，当C时，A+C＞π，舍去，所以，故，∴．
20．（2019秋•安徽期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设平面向量，且（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，求△ABC中AB边上的高h．【解答】解：（Ⅰ）平面向量，且，可得，所以cos2B﹣sin2A+sinAsinB＝cos2C，即1﹣sin2B﹣sin2A+sinAsinB＝1﹣sin2C，即sin2A+sin2B﹣sin2C＝sinAsinB，根据正弦定理得a2+b2﹣c2＝ab，所以，所以；（Ⅱ）由余弦定理，又，所以ab＝3，根据△ABC△的面积，即，解得，所以△ABC中AB边上的高．21．（2020•山东模拟）在①a，②（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，c而且_______．（1）求∠C；（2）求△ABC周长的最大值．【解答】解：（1）选①，∵a，∴，∵sinA≠0，∴，即，又0＜C＜π，∴，故，即；
选②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，∴，∵0＜C＜π，∴；（2）由（1）可知，，在△ABC中，由余弦定理得a2+b2﹣2abcosC＝3，即a2+b2﹣ab＝3，∴，∴，当且仅当那个a＝b时取等号，∴，即△ABC周长的最大值为．
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