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6.4.3正余弦定理的实际运用（精练）【题组一正余弦定理的综合运用】1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知的内角，，的对边分别是，，，且．（1）求的大小；（2）若的面积等于，，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，由余弦定理得，∵，∴．（2）因为，所以，又，故，于是，∴，，所以．2．（2020·霍邱县第一中学高一期末）在中，分别为内角所对的边长，，.（1）求角的大小；（2）求的面积.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由内角和定理得，
因为，故，因为，所以.所以根据正弦定理得：，因为，，所以，所以.（2）由（1）得，，所以.3．（2020·三门峡市外国语高级中学高一期中）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且满足.（1）求角的大小；（2）若边长，求的周长最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），根据正弦定理得，，即，由余弦定理得.又，所以；（2），，，由正弦定理得，可得：，，
，由可得，可得..因此，的周长的最大值为.4（2020·四川高一月考（文））已知的内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状.【答案】（1）；（2）有最大值，此时为等腰三角形.【解析】（1）由正弦定理及已知得到，又，所以，从而，所以，又在中，，所以.又，所以.（2）由（1）及正弦定理知道，所以，.所以
.因为，所以.从而.因为，所以当时，有最大值，此时，为等腰三角形.5．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足且.（1）求角B；（2）求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，由正弦定理，得，∴，即，又，∴，
又得.（2）在中，，由正弦定理，，.6．（2020·安徽和县·高一期末（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，由余弦定理得．又为的内角，所以.（2）由正弦定理得，即有，.所以因为，所以，所以，所以即.故的取值范围为．7．（2020·浙江高一期末）在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，
.（1）求角A的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，结合余弦定理，可得：，∴，∴又∵，∴（2）因为，，所以，所以，所以∵是锐角三角形，所以，解得
∴,∴∴,∴综上，的取值范围是8．（2020·浙江高一期末）在中，角，，的对边分别为，，，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，即为.由余弦定理可得，因为，所以.（Ⅱ）在中由正弦定理得，又，所以，，所以，
，，因为为锐角三角形，所以，且，所以且，所以且，所以，所以，所以周长的取值范围是.9．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求．（2）若，，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），由正弦定理可得：，，，，，
，，．（2）由，，由余弦定理得，，即有，，故的面积为．10．（2021·湖南益阳市·高二期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答．问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若________，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1），由正弦定理可得，又，，又由已知，，由．
（2）①若选择，由余弦定理得：，，，．②若选择，由余弦定理得：，整理得：，解得：，或（舍去），．③若选择，则，由正弦定理得：，．．【题组二正余弦定理与三角函数综合运用】1．（2020·浙江）已知函数.（1）求函数的最小正周期和最小值；（2）中，，，的对边分别为，，，已知，，，求，的值.【答案】（1）最小正周期为；最小值为.（2），【解析】（1）.
所以的最小正周期，的最小值为.（2）因为，所以，又，，所以，得，因为，由正弦定理得，由余弦定里得，又，所以，.2．（2020·河南新乡市）已知函数．（1）求函数在上的最大值和最小值；（2）在中，角、、所对的边分别为、、，满足，，，求的值．【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）．【解析】（1）（3分），，，
所以的最大值为，最小值为．（2）因为，即，，，又在中，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，即，所以．3．（2021·柳州市第二中学高二期末（理））已知函数，.（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量与共线，求，的值.【答案】（1）函数的最小值为，最小正周期为；（2），.【解析】（1）由于函数，故函数的最小值为，最小正周期为.（2）中，由于，又，所以，∴.又向量与共线，所以.由正弦定理得，且.故有，化简可得，又，∴，∴.
又，可得，解得，.4．（2020·江西南昌市·高一月考）已知，函数.（Ⅰ）求函数零点；（Ⅱ）若锐角的三内角的对边分别是，且,求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（Ⅰ）由条件可知，所以函数零点满足,由，解得．（Ⅱ）由正弦定理得，由（Ⅰ），而，得，又，得，代入上式化简得：
又在锐角中，有，则有，即：.5．（2021·江西新余市·高三期末（文））已知函数中，角的对边分别为，且．（1）求的单调递减区间；（2）若，求三角形中的值．【答案】（1）；（2）.【解析】(1)依题又故的单调递减区间为(2)由题意知，又，故，依题意，在三角形中，由余弦定理
故.6．（2020·全国）已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）在中，角的对边分别为，若，，，求①求的值；②求.【答案】（1），；（2）①，；②.【解析】解：（1），最小正周期．因为，所以，所以所求函数的单调递减区间为．（2）因为，又，所以，所以，①又因为，由正弦定理可得，，②由①②可得，．由正弦定理可得，所以，又所以所以7．（2020·山东）已知函数（1）求函数的单调递增区间
（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1由解得：，故函数的单调递增区间为．（2），，又，，，又，在中，由正弦定理得：，得又为锐角三角形，且，故，解得，即面积S的取值范围是：
【题组三正余弦定理在几何中的运用】1．（2020·湖北武汉市·高一期末）如图，在中，点在边上，，，．（Ⅰ）求边的长；（Ⅱ）若的面积是，求的值．【答案】（1）2（2）【解析】（Ⅰ）在中，设，则由余弦定理得：即：，解之得：即边的长为2（Ⅱ）由（Ⅰ）得为等边三角形，作于，则，∴，故，，∴在中，由余弦定理得：∴在中由正弦定理得：，∴，∴2．（2020·江西）如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝.
(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝，求AB的长．【答案】(1)；（2）4.【解析】(1)因为∠D＝2∠B，cosB＝，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－.因为D∈(0，π)，所以sinD＝＝.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2.因为BC＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.3．（2020·湖北省崇阳县第一中学高一月考）在中，D为上一点，，，，.（1）求角B；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，所以，又，所以；
（2）在中，，所以因为，所以，在中，由余弦定理得，所以.4．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的大小；（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，且，所以，在中，,所以,所以，所以因为在中，，所以因为是的内角所以.（2）在中，，因为是等腰直角三角形，所以，，所以平面四边形的面积
因为，所以所以当时，，此时平面四边形的面积有最大值5．（2020·福建泉州市·高一期末）在平面四边形中，，.（1）求；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）；【解析】（1）由题，在中，根据正弦定理，，因为，．所以，，．（2）由（1）可知，．，中，，，，中，，，解得或（舍，的面积．
【题组四正余弦定理在实际生活中的运用】1．（2020·黑龙江大庆市·铁人中学高一期末）如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意有：底面，在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，，，，在三角形中，由余弦定理可得：，在三角形中，由余弦定理可得：，∴，
解得：.故选：B.2．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，由题意，∴，在中，，即，．∴，（米/秒）．故选B．3．（2020·邵东市第一中学高一月考）如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为，则山高BC=（）
A．500米B．1500米C．1200米D．1000米【答案】D【解析】依题意，过点作于，于，，米，米，依题意，在中，，，在中，，，在中，米，米，故选：D．4．（2020·雅安市教育科学研究所高一期末）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理可得，
所以．故选A．【解题必备】当的长度不可直接测量时，求，之间的距离有以下三种类型．（1）如图1，A，B之间不可达也不可视，计算方法：测量，及角，由余弦定理可得．（2）如图2，B，C与点A可视但不可达，计算方法：测量，角，角，则，由正弦定理可得．（3）如图3，C，D与点A，B均可视不可达，计算方法：测量在中由正弦定理求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求．图1图2图35．（2020·（西区）高一期中）如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟.【答案】【解析】由题意知：，，，则在中，利用余弦定理知：，代入数据，得，解得：，
则从到所用时间为，则，即.故答案为：.6．（2020·和县第二中学高一期中（文））和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔的高度，如图所示，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为，在水平面上测得，两地相距，则文昌塔AB的高度是____________.【答案】30【解析】设塔高，在中，由已知可得，在中，由已知，在中，由余弦定理可得，即，解得（负值舍去）．故答案为：307．（2020·广东云浮市·高一期末）在相距3千米的，两个观察点观察目标点，其中观察点在观察点的正东方向，在观察点处观察，目标点在北偏东方向上，在观察点处观察，目标点在西北方向上，则，两点之间的距离是______千米．
【答案】【解析】由题设可知，在中，，，所以，由正弦定理得，即，解得．故答案为：.8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.【答案】【解析】在中，因为，，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），
在中，因为，，所以，由正弦定理得：，所以.故答案为：9．（2020·山东临沂市·高一期末）如图，在四边形ABCD中，已知，，，，19．（2020·苏州新草桥中学高一期中）如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：（1）轮船D与观测点B的距离；（2）救援船到达D点所需要的时间．【答案】（1）海里；（2）1小时.【解析】（1）由题意可知：在中，，，则，由正弦定理得：，由，代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.（2）在中，，，，
由余弦定理得：，，，即该救援船到达点所需的时间小时.
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