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【新教材】6.2.4向量的数量积（人教A版）第2课时向量的向量积1、理解平面向量的数量积定义与向量的夹角的关系.2、掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用.1.数学抽象：利用数量积定义得到夹角、模长公式；2.逻辑推理：由已知条件求夹角；3.数学运算：求模长，根据向量垂直求参数；4.数学建模：应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题时，综合考虑，层层分析.重点：平面向量数量积的性质与运算律应的应用;难点：对向量数量积概念的应用.一、预习导入
阅读课本17-21页，填写。1．常用公式①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；④(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：①a·(b－c)＝a·b－a·c；②(a·b)c＝a(b·c)；③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.其中正确的有__________个．2．已知△ABC中，BC＝4，AC＝8，∠C＝60°，则·＝________．3．已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－36，则a与b的夹角为( )A．60°B．120°C．135°D．1504．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b不共线，则向量a+与a-垂直是，k＝________．题型一向量模的有关计算例1 已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.跟踪训练一1、已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.2、已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________. 题型二两个向量的夹角和垂直例2 (1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为( )
A. B. C. D.(2)已知a，b是非零向量，当a＋(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋)．跟踪训练二1、已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．2、已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．题型三平面向量数量积的综合应用例3已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．跟踪训练三1、已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．1．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为( )A．30°B．60°C．150°D．120°2．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )A．0B．2C．4D．83．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )A．1B．2C．3D．54．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝－4b，c与d垂直，则k的值为________.5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为________.6．已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.(1)求|b|的值；(2)求向量a－b与a＋b夹角的余弦值．
答案小试牛刀1．1个.2．-16.3．B.4．自主探究例1 【答案】(1)－6.(2)13.(3).(4).【解析】(1)a·b＝|a||b|cosθ＝3×4×cos120°＝－6.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13.(3)|a＋b|＝＝.(4)|a－b|＝＝＝＝.跟踪训练一
【答案】1、.2、3.【解析】1、令e1与e2的夹角为θ，∴e1·e2＝|e1|·|e2|cosθ＝cosθ＝.又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.∵b·(e1－e2)＝0，∴b与e1，e2的夹角均为30°，∴b·e1＝|b||e1|cos30°＝1，从而|b|＝＝.2、∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，∴a·b＝|a||b|cos45°＝|b|，|2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3.例2 【答案】 (1)A.(2)见解析.【解析】 (1) 设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，∴|a||b|cosθ＝，即cosθ＝.又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为.(2)证明 ∵|a＋tb|＝＝＝，∴当t＝－＝－时，|a＋tb|有最小值．此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋·|b|2＝a·b－a·b＝0.∴b⊥(a＋tb)．跟踪训练二【答案】1、.2、当m＝时，c与d垂直.【解析】1、设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝.因为0≤θ≤π，所以θ＝.2、由已知得a·b＝2×1×cos60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，∴m＝.故当m＝时，c与d垂直．例3【答案】见解析.【解析】由已知条件得，即②－①得23b2－46a·b＝0，所以2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，即a与b的夹角为.跟踪训练三1【答案】3．【解析】因为a2＝4，所以|a|2＝4，所以|a|＝2.把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，得1＋|a|＋a·b＝0，所以a·b＝－3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2|b|cos120°＝－3，所以|b|＝3，即向量b的模为3.当堂检测1-3.DBA4.65.
6.【答案】(1).(2)向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.【解析】：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.∵|a|＝1，∴1－|b|2＝，∴|b|＝.(2)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，∴|a＋b|＝，|a－b|＝1.令a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，即向量a－b与a＋b夹角的余弦值是.
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