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格致课堂8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定一、选择题1．如图，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，则与平面的位置关系是（）A．垂直B．平行C．斜交D．以上都不对【答案】A【解析】连接.∵几何体是正方体，底面是正方形，∴.又∵，∴平面.∵平面，∴.∵，∴平面.故选A.2．若斜线段是它在平面上的射影长的2倍，则与平面所成的角是（）
格致课堂A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，作点在平面上的射影，连接，则即是斜线与平面所成的角，且为直角三角形.又，所以，所以.故选A.3．正方体中，与平面所成的角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，连接交于点E，连接AE，正方体中，证得：平面，所以与平面所成的角为，设正方体的边长为，在中，求得：，，,所以，
格致课堂故选：A4．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（）A．平面B．平面C．平面D．平面【答案】A【解析】由题意：，，，平面所以平面正确，D不正确；.又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；同理平面不正确；故选：A5．（多选题）如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】对于A，由与所成角为，可得直线与平面不垂直；
格致课堂对于B，由，，，可得平面；对于C，由与所成角为，可得直线与平面不垂直；对于D，连接，由平面，可得，同理可得，又，所以平面.故选：BD6．（多选题）如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.那么能保证该直线与平面垂直的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】ACD【解析】根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的；选项A、C、D中给定的两条直线一定相交，能保证直线与平面垂直；而B中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.故选：ACD.二、填空题7．如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为______.【答案】【解析】取中点，连接，如下图所示：
格致课堂正三棱柱，，则，因为平面，平面，所以而，则平面，则即为与平面所成角.因为，所以故答案为：.8．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面.【答案】或
格致课堂【解析】由已知得是等腰直角三角形，，是的中点，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.若平面，则.设，则，，∴，解得或.9．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．（1）当满足条件时，有；（2）当满足条件时，有．（填所选条件的序号）【答案】③⑤；②⑤【解析】试题分析：若m⊂α，α∥β，则m∥β；若m⊥α，α∥β，则m⊥β．故答案为（1）③⑤（2）②⑤10.已知三棱锥S－ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________.【答案】【解析】 如图所示，取BC的中点D，连接SD，AD，则BC⊥AD.过点A作AG⊥SD于点G，连接GB.
格致课堂∵SA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥SA，又SA∩AD＝A，∴BC⊥平面SAD.又AG⊂平面SAD，∴AG⊥BC.又AG⊥SD，SD∩BC＝D，∴AG⊥平面SBC.∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角.∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝，SD＝2.在Rt△SAD中，AG＝＝.∴sin∠ABG＝＝＝.三、解答题11．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.（I）求异面直线与所成角的余弦值；（II）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.
格致课堂【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因为BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以为直线DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.
格致课堂所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.12．如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.
格致课堂由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
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