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10.1.2 事件的关系和运算(教师独具内容)课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义.2.能结合实例进行随机事件的并、交运算．教学重点：随机事件的并、交、互斥与对立的含义．教学难点：随机事件的关系与集合关系的解释.知识点一 事件的关系及运算
事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，对立事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生，因此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．从集合的观点来判断：设事件A与B所含的样本点组成的集合分别是A，B，若A，B互斥，则A∩B＝∅，若A，B对立，则A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即∁ΩB＝A，∁ΩA＝B.互斥事件A与B的和A＋B可理解为集合A∪B. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A＝B，则A，B同时发生或A，B同时不发生．( )(2)两个事件的和指两个事件至少一个发生．( )(3)互斥事件一定是对立事件．( )答案 (1)√ (2)√ (3)×
2．做一做(1)掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )A．A⊆BB．A∩B＝{出现的点数为2}C．事件A与B互斥D．事件A与B是对立事件(2)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品．并给出以下结论：①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∩B＝C；④A∩D＝C.其中正确结论的序号是( )A．①②B．③④C．①③D．②③(3)下列各对事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；④甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但乙没有射中目标”．其中是互斥事件的有________，是包含关系的有________．答案 (1)B (2)A (3)①③ ④题型一事件关系的判断与集合表示例1 对一箱产品进行随机抽查检验，如果查出2个次品就停止检查，最多检查3个产品．
(1)写出该试验的样本空间Ω，并用样本点表示事件：A＝{有2个产品是次品}，B＝{至少有2个正品}；(2)用集合的形式表示事件A∪B；(3)试判断事件C＝{至少1个产品是正品}与事件B的关系．[解] (1)依题意，检查是有序地逐个进行，至少检查2个，最多检查3个产品．如果以“0”表示查出次品，以“1”表示查出正品，那么样本点至少是一个二位数，至多是一个三位数的有序数列．样本空间Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．A＝{00,010,100}．B＝{011,101,110,111}．(2)A∪B＝Ω＝{00,010,011,100,101,110,111}．(3)∵C＝{010,011,100,101,110,111}，∴B⊆C. 概率论与集合论之间的对应关系记号概率论集合论Ω样本空间(必然事件)全集∅不可能事件空集w基本事件(样本点)元素A随机事件子集A的对立事件A的补集A⊆BA发生导致B发生A是B的子集A∪BA与B事件的和事件并集A∩BA与B事件的积事件交集A∩B＝∅互斥，不同时发生没有相同元素如果事件A，B互斥，那么( )A．A∪B是必然事件B.∪是必然事件C.与一定互斥D.与一定不互斥答案 B解析 可由Venn图判断，易得与分别表示集合A，B的补集，则∪＝Ω，B正确．
题型二事件的运算例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题．(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．[解] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G，E＝D2＋D3. 事件间运算的方法(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．A∩B表示向上的点数是1或2或3答案 C
解析 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.题型三对立事件与互斥事件的辨析例3 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 互斥事件与对立事件间的关系互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的．一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( )A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥答案 D解析 由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品答案 B解析 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．3．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是下列事件中的哪几个？( )①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球．A．①②B．①③C．②③D．①②③答案 A解析 ①根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件．但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件．②事件“两球都为白球”
和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件．③事件“两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选A.4．某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是________．答案 2次都中靶解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不中靶”，其对立事件是“2次都中靶”．5．一个射击手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6,7,8,9或10环．解 A∩B＝{10环}≠∅，故A与B不是互斥事件；显然A∩C＝∅，“大于7环”与“小于6环”是不可能同时发生的，故A与C是互斥事件．又A∪C≠Ω，即A与C不是必有一个发生，还可能有6环或7环，因此A与C不是对立事件；A∩D＝{8环，9环，10环}≠∅，故A与D不是互斥事件；显然B∩C＝∅，所以B与C是互斥事件．又因为B∪C≠Ω，因此B与C不是对立事件；B∩D＝{10环}≠∅，因此B与D不是互斥事件；显然C∩D＝∅，因此C与D是互斥事件，又C∪D＝Ω，即C，D必有一个发生，因此C与D还是对立事件．
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