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新教材人教版高中数学必修第二册第6章《6.2.4课时精讲》(含解析)

2022-08-22
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6.2.4 向量的数量积知识点一向量的夹角知识点二向量数量积的概念知识点三投影向量如图1，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．如图2，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．知识点四向量的数量积的性质和运算律(1)向量的数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则①a·e＝e·a＝|a|cosθ.②a⊥b⇔a·b＝0.③当a与b同向时，a·b＝|a||b|. 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.④a·a＝|a|2或|a|＝＝.⑤cosθ＝.⑥|a·b|≤|a||b|.(2)向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．对数量积的理解(1)求a，b的数量积需知道三个量，即|a|，|b|及a，b的夹角，这三个量有时并不是直接给出来的，需根据题意去巧妙求解．(2)两个向量的数量积是两个向量之间的运算，其结果不再是向量，而是数量，它的符号由夹角确定，当夹角为锐角或0时，符号为正；当夹角为钝角或π时，符号为负；当夹角为直角时，其值为零．向量的投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．(3)两个向量a，b的数量积与代数中两个数a，b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a，b的数量积是记作a·b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成a×b.2．要灵活掌握向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝＝也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)用cosθ＝求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ＝0时，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；当θ为钝角时，cosθ0，∴·＝－· 查看更多

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