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人教版高中数学必修第二册：6.2.4《向量的数量积第2课时向量的向量积》导学案 (含答案)

2022-08-19
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6.2.4向量的数量积第2课时向量的向量积1.掌握数量积的运算律；2.利用数量积的运算律进行化简、求值；1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。1.向量数量积的运算律(1)a·b＝(交换律)．(2)(λa)·b＝＝(结合律)．(3)(a＋b)·c＝(分配律)．一、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？思考：设是向量，一定成立吗？为什么？例1.对任意，恒有，，对任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）；（2）例2.例3.已知且不共线，当k为何值时，向量互相垂直？ 1.给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是：________．2.若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．3.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？这节课你的收获是什么？参考答案：探究：平面向量数量积的运算律证明：（1）因为，所以，。（2）当一样。因为，同理，当成立。所以，。（3）思考：表示与一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，但与不一定共线。所以。例1.例2. 例3.解：互相垂直的充要条件是，即，因为。所以，解得。也就是说，当时，向量互相垂直。达标检测1.【解析】由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a；⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当a与b的夹角为0时，也有a·b>0，因此⑦错；【答案】 ①②⑥2.【解】设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|，所以|a|2＝9|b|2，又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cosθ＝13|b|2＋12|b|2cosθ，即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cosθ，故有cosθ＝－.【答案】－3.【解析】由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，知c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，∴m＝，即m＝时，c与d垂直．查看更多

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