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人教版高中数学必修第二册：6.3.1《平面向量基本定理》导学案 (含答案)

2022-08-18
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6.3.1平面向量基本定理1.理解平面向量基本定理及其意义；2.会用基底表示平面内某一向量；3.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。1.教学重点：平面向量基本定理及其意义；2.教学难点：平面向量基本定理的探究。1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，实数λ1，λ2，使a＝．2．基底：不共线的向量e1，e2，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．一、探索新知探究：如图6.3-2（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？思考1.若向量与共线，还能用表示吗？思考2.当是零向量时，还能用表示吗？思考3.设是同一平面内两个不共线的向量，在中，是否唯一？平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，实数λ1，λ2，使a＝．。例1.如图，不共线，且，用表示。思考：观察你有什么发现？例2.如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。 2.平面向量基本定理及其补充说明：如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。说明：(1).基底的选择是不唯一的；(2).同一向量在选定基底后，是唯一存在的。(3).同一向量在选择不同基底时，可能相同也可能不同1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )A．， B．，C．，D．，2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是( )A．不共线B．共线C．相等D．不确定3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝( )A．(5e1＋3e2)B．(5e1－3e2) C．(3e2－5e1)D．(5e2－3e1)4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝( )A．B．C．－D．－5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.这节课你的收获是什么？参考答案：探究：如图，思考1.当向量与共线时，。当向量与共线时，。思考2.思考3：假设，即，所以，所以唯一。例1.解：因为，所以思考4.如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。例2.证明：设所以，所以。于是是直角三角形。达标检测1.【解析】由于，不共线，所以是一组基底．【答案】 D2.【解析】 ∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，∴a＋b与c共线．【答案】 B3.【解析】＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．【答案】 A4.【解析】 ∵A，B，D三点共线，∴存在实数t，使＝t，则－＝t(－)，即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，∴即λ＝－.【答案】 C 5.【解】 ∵a，b不共线，∴可设c＝xa＋yb，则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又∵e1，e2不共线，∴解得∴c＝a－2b. 查看更多

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