资料简介
2.3.2平面与平面垂直的判定A级 基础巩固一、选择题1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角( )A．相等 B．互补C．不确定D．相等或互补答案：C2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.又m⊂α，所以α⊥β.答案：C3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a∥α，β⊥α⇒a∥β其中不正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①中b⊂α有可能成立，所以①不正确；②中b⊂α有可能成立；故②不正确；③中a⊂β有可能成立，故③不正确；④中a⊂β有可能成立，故④不正确．综上①②③④均不正确，故选D.答案：D4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.答案：D5．已知m，n为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是( )A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α⊥γ，β⊥γ⇒α∥βC．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β解析：α∥β，m⊥α⇒m⊥β，n∥β⇒m⊥n.答案：C二、填空题6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．解析：可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°.答案：45°8．如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，二面角BPAC的大小等于________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC是二面角BPAC的平面角．又∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小等于90°.答案：90°三、解答题9.如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC.证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.10．如图所示，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．(1)证明SO⊥平面ABC；(2)求二面角ASCB的余弦值．(1)证明：如图所示，由题设AB＝AC＝SB＝SC＝SA.连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA＝OB＝OC＝SA，且AO⊥BC.又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SO＝SA.从而OA2＋SO2＝SA2，所以△SOA为直角三边形，SO⊥AO.又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.(2)解：取SC的中点M，连接AM，OM.由(1)知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.所以∠OMA为二面角ASCB的平面角．由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，得AO⊥平面SBC.所以AO⊥OM.又AM＝SA，AO＝SA，故sin∠AMO＝＝＝.所以二面角ASCB的余弦值为.B级 能力提升1．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有( )A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.答案：D2．若P是△ABC所在平面外一点，△PBC和△ABC都是边长为2的等边三角形，PA＝，则二面角PBCA的大小为________．
解析：如图，由于△PBC和△ABC都是边长为2的等边三角形，故取BC的中点O，连接PO，AO，所以PO⊥BC，AO⊥BC.由二面角的平面角的定义知，∠POA为二面角PBCA的平面角，分别在两个三角形中求得PO＝AO＝.在△PAO中，PO2＋OA2＝6＝PA2，所以∠POA＝90°，即二面角PBCA的大小为90°.答案：90°3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE为△ABC的中位线，所以DE∥AC.因为ABCA1B1C1为棱柱，所以AC∥A1C1.所以DE∥A1C1.因为A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，所以DE∥平面A1C1F.(2)因为ABCA1B1C1为直棱柱，所以AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B.所以A1C1⊥平面AA1B1B.因为DE∥A1C1，所以DE⊥平面AA1B1B.又因为A1F⊂平面AA1B1B，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥B1D，DE∩B1D＝D，且DE，B1D⊂平面B1DE，所以A1F⊥平面B1DE.又因为A1F⊂平面A1C1F，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
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