资料简介
2.3.1 直线与平面垂直的判定【选题明细表】知识点、方法题号线面垂直的定义及判定定理的理解1,2,3,5线面垂直的判定及证明4,6,8,9直线与平面所成的角7综合问题10,11,121.(2018·甘肃兰州二十七中高二上期末)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( A )(A)若l⊥α,l∥m,则m⊥α(B)若l∥α,m⊂α,则l∥m(C)若l⊥m,m⊂α,则l⊥α(D)若l∥α,m∥α,则l∥m解析:易知A正确.B.l与m可能异面,也可能平行.C.当l与α内两条相交直线垂直时,才能判定l⊥α,D.l与m可能平行、异面或相交.2.(2018·广西桂林期末)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( C )(A)若m∥α,n∥α,则m∥n(B)若m⊥α,m⊥n,则n∥α(C)若m⊥α,n⊂α,则m⊥n(D)若m∥α,m⊥n,则n⊥α解析:对于选项A,若m∥α,n∥α,则m与n可能相交、平行或者异面;故A错误;对于B,若m⊥α,m⊥n,则n与α可能平行或者n在α内;故B错误;对于C,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n;故C正确;对于D,若m∥α,m⊥n,则n⊂α,或n与α相交;故D错误.故选C.3.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是( D )(A)(B)2(C)3(D)4解析:如图所示,作PD⊥BC于D,连接AD.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥CD.所以CB⊥平面PAD,所以AD⊥BC.6
在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD==4.故选D.4.已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,垂足H,则H为△ABC的( B )(A)重心(B)垂心(C)外心(D)内心解析:连接AH并延长,交BC于D,连接BH并延长,交AC于E;因为PA⊥PB,PA⊥PC,故PA⊥平面PBC,故PA⊥BC;因为PH⊥平面ABC,故PH⊥BC,故BC⊥平面PAH,故AH⊥BC;同理BH⊥AC;故H是△ABC的垂心.5.(2018·唐山高二期末)△ABC所在平面α外一点P到三角形三顶点的距离相等,那么点P在α内的射影一定是△ABC的( A )(A)外心(B)内心(C)重心(D)以上都不对解析:由题意PA=PB=PC,PO⊥平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,所以由HL定理知Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC.于是OA=OB=OC,所以O为三边中垂线的交点,O是三角形的外心,故选A.6.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是( D )(A)1(B)2(C)3(D)4解析:⇒⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC.故选D.7.(2018·浙江杭州月考)如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为 . 6
解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO为直角三角形,CO=2,Rt△PCO中,cos∠PCO=,∠PCO=45°.答案:45°8.(2018·陕西西安高一期末)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,过E点作EF⊥PB交PB于点F.求证:(1)PA∥平面DEB;(2)PB⊥平面DEF.证明:(1)连接AC,BD,交于O,连接EO.因为底面ABCD是正方形,所以点O是AC的中点.所以在△PAC中,EO是中位线,所以PA∥EO,因为EO⊂平面DEB,且PA⊄平面DEB,所以PA∥平面DEB.(2)因为PD⊥底面ABCD,且BC⊂底面ABCD,所以PD⊥BC.因为底面ABCD是正方形,所以DC⊥BC,可得BC⊥平面PDC.因为DE⊂平面PDC,所以BC⊥DE.又因为PD=DC,E是PC的中点,所以DE⊥PC.所以DE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC,所以DE⊥PB.又因为EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.9.如图甲所示,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如图乙所示,那么,在四面体AEFH中必有( A )(A)AH⊥△EFH所在平面(B)AG⊥△EFH所在平面6
(C)HF⊥△AEF所在平面(D)HG⊥△AEF所在平面解析:根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,所以AH⊥平面EFH,故选A.10.如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,给出下列结论:①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;④AC⊥SO.正确结论的序号是 . 解析:连接SO,如图所示,因为四棱锥SABCD的底面为正方形,所以AC⊥BD.因为SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,则①正确;因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD,则②正确;因为SD⊥底面ABCD,所以∠SAD和∠SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角,因为AD=CD,SD=SD,所以∠SAD=∠SCD,则③正确;因为AC⊥平面SBD,SO⊂平面SBD,所以AC⊥SO,则④正确.答案:①②③④11.(2018·宁夏石嘴山第三中学高二上期末)侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA′B′C′满足∠BAC=90°,AB=AC=AA′=2,点M,N分别为A′B,B′C′的中点.6
(1)求证:MN∥平面A′ACC′;(2)求证:A′N⊥平面BCN;(3)求三棱锥CMNB的体积.(1)证明:如图,连接AB′,AC′,因为四边形ABB′A′为矩形,M为A′B的中点,所以AB′与A′B交于点M,且M为AB′的中点,又点N为B′C′的中点,所以MN∥AC′,又MN⊄平面A′ACC′,且AC′⊂平面A′ACC′,所以MN∥平面A′ACC′.(2)证明:因为A′B′=A′C′=2,点N为B′C′的中点,所以A′N⊥B′C′.又BB′⊥平面A′B′C′,所以A′N⊥BB′,所以A′N⊥平面BCN.(3)解:由图可知=,因为∠BAC=90°,所以BC==2,S△BCN=×2×4=4.由(2)及∠B′A′C′=90°可得A′N=,因为M为A′B的中点,所以M到平面BCN的距离为,所以==×4×=.12.如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2).6
(1)求证:DE∥平面A1CB;(2)求证:A1F⊥BE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由.(1)证明:因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB,BC⊂平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.(2)证明:由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)解:线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.又因为DE∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知,DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.6
查看更多
