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直线与平面垂直的判定与性质一、选择题1•两异面直线在平面a内的射影（A•相交直线B•平行直线C.一条直线一个点D.以上三种情况均有可能2.若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（A•有且只有一个B•可能存在也可能不存在C.有无数多个D 一定不存在3.在空间，下列哪些命题是正确的（①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；D.四个命题都正确则b与I（）D.无法确定④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.C.仅①正确A.仅②不正确B.仅①、④正确4.若平面a的斜线I在a上的射影为I直线b//a,且b_LIA.必相交B.必为异面直线C.垂直5.下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影；③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长.其中，正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个n4个6.在下列四个命题中，假命题为（）A•如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C.过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内D.如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7.已知P是四边形ABCD所在平面外一点且P在平面ABCD内的射影在四边形ABCD内，若P到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（）A.圆内接四边形B.矩形C.圆外切四边形D.平行四边形8.在^ABC中，AB=AC二5,BC=6,FA_L平面ABC,PA=8,贝UP至ijBC的距离等于（）A.-5B.25C,35D,45二、填空题9.AB是平面a的斜线段，其长为a，它在平面a内的射影A，B的长为b,则垂线A'410.如果直线I、m与平面a、B、丫满足：1=3门丫，I_La,ma和m_£丫，现给出以下四个结论：①a//Y且l，m；②aY且m//B③a搜B且l_Lm；@&八，丫且1_101；其中正确的为“”.（写出序号即可）11.在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有个.12.如图，正方形ABCD,P是正方形平面外的一点，且FA_L平面ABCD则在△PAB、△PBC、△PCD、△FAD、△PAC及乙、PBD中,为直角三角形有个.
13.给出以下四个命题（1）两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线;
(2)两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线;
(3)两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线；(4)一个锐角在平面内的射影一定是锐角.其中假命题的共有个.14.若一个直角在平面a内的射影是一个角，则该角最大为三、解答题15.已知直线a//平面a,直线b_L平面a，求证：a_Lb.16.如图，在长方体AG中，已知AB二BC二a,BBi=b(b>a),连结BCi,过Bi作Bi_LBG交CG于E,交BG于Q,求证：AC1平面EB.Di17.如图在△ABC中，是已知/ABC=90,SA_Lz\ABC所在平面，乂点A在SC和SB上的射影分别P、Q.求证：PQ±SC.18.已知在如图中，/BAC在平面a内，点尸’a,PE±AB,PF±AC,PO_La，垂足分别是E、F、O,PE二PF,求证：/BAO=ZCAO,19.已知：点P与直线a,试证；过点P与a垂直的直线共面.22-2_220.四面体ABCD的棱AB±CD的充要条件是AC+BD=AD+BC.四、思考题对于一个三角形，它的三条高线总相交于一点，而对于一个四面体，它的四条高线是否总相交于一点呢？若不总相交于一点，则怎样的四面体其四条高线才相交于一点呢？这是一个美丽而非凡的问题，请读者进行研究拓展.-fy.六Qofc7参考答案一、选择题
1.D2,B3.B4.C5.A6.A7.C8,D二、填空题9.a10.③、④11.412.513.414.180°三、解答题15.证明：设3为过a的平面，且aA3=L・/a//a,：・a//I.•••b_LI,•••b_La.16.证明：1人8_£面8。，BCi为AC在平面BC上的射影，且3£上由三垂线定理知BiE±ACi.又-AA_L面AiCi,AB=BC,AiCi±BiDi,AQ是AG在面AC上的射影•-・由三垂线定理得ACi±BiDi.又・BiEnBiDi=Bi,•AG_L平面EBiDi.i7.证明：-5人，面ABC,BC二面ABC,•SA±BC.又・AB_LBC且SAnAB=A,•BC士面SAB,AQ二面SAB.•BC士AQ,又AQ±SB,BCnSB二B.•/人0上面SBC. PQ是斜线AP在平面SBC上的射影，又-AQ±SC,•由三垂线定理的逆定理可得PQ±SC.18.证明：-P0±a,PE=PF,•0E=OF,又-PE_LAB、PF±AC,•OE_LAB、OF_LAC.故RtAAOE也Rt△AOF,•/BAO=ZCAO.19.证明：如图，在点P和直线a所在的平面3内，过点P作直线a的垂线b，设垂足为A.设过点P与3垂直的直线为c,则必有c_La，再设由b、c确定的平面为a，则必有a±a.设I是过点P与a垂直的直线，下证：I二a.若I二a,设由I与C确定的平面为a二则由a±I,a±c,Inc二P,•a_La一这样平面a与a’都是过点P与直线a垂直的平面.这是一个错误的结论，因此，假设不成立，故必有I二a,也就是说过点P与a垂直的直线均在平面a内，于是本题获证.20.证明：先证必要性：过B作CD的垂线，垂足E，连AE,・/CD_LAB,・CD_L平面ABE,・CD±AE.
・AC2=AE2+CE2、BD2=BE2+DE2;又有AD2=AE2+DE2、BC2=BE2+CE2.・AC2+BD2=AE2+BE2+CE2+DE2,而AD2+BC2=AE2+BE2+CE2+DE2.・AC2+BD2=AD2+BC2.再证充分性：过A点作CD的垂线，垂足设为F，于是有：AD2=AF2+DF2、BC2=BE2+CE2;AC2=AF2+CF2、BD2=BE2+DE2;・/AD2+BC2=AC2+BD2;・AF2+DF2+BE2+CE2=AF2+CF2+BE2+DE2・DF24-CE?=CF2+DE%
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