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第二章2.22.2.4A级 基础巩固一、选择题1．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( A )A．平行 B．相交C．AC在此平面内 D．平行或相交[解析] 利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行．2．已知平面α∥平面β，P∉α，P∉β，过点P的两直线分别交α、β于A、B和C、D四点，A、C∈α，B、D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，则AC之长为( C )A．10或18 B．9 C．18或9 D．6[解析] 由PA＝6，AB＝2知，P点不可能在α与β之间，∴点P在两平行平面所夹空间外面，∴＝或＝，∴AC＝9或AC＝18，∴选C．3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，过点B的所有直线中( D )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线[解析] ∵α∥β，B∈β，a⊂α，∴B∉a，∴点B与直线a确定一个平面γ，∵γ与β有一个公共点B，∴γ与β有且仅有一条经过点B的直线b，∵α∥β，∴a∥b.故选D．
4．已知a、b表示直线，α、β、γ表示平面，则下列推理正确的是( D )A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[解析] 选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D．5．已知两条直线m、n两个平面α、β，给出下面四个命题：①α∩β＝m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∩β＝m，m∥n⇒n∥β且n∥α.其中正确命题的序号是( A )A．① B．①④C．④ D．③④6．平面α∥平面β，△ABC、△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′共点于O，O在α、β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA︰OA′＝3︰2，则△A′B′C′的面积为( C )A． B．C． D．[解析] 如图∵α∥β，∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，且由＝＝知相似比为，又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，
知S△ABC＝AB·CD＝AB·(AC·sin60°)＝，∴S△A′B′C′＝.二、填空题7．如右图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为__平行四边形__.[解析] ∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．三、解答题8．如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．求证：CE∥平面PAD.[解析] 解法一：如图所示，取PA的中点H，连接EH、DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB.
又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD.因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD.解法二：如图所示，取AB的中点F，连接CF、EF，所以AF＝AB.又CD＝AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD.又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？[解析] 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.连接BD，由题意可知，BD∩AC＝0，
O为BD的中点，又P为DD1的中点，∴OP∥BD1，又BD1⊄平面PAO，PO⊂平面PAO，∴BD1∥平面PAO，连接PC.∵PD1綊CQ，∴D1Q∥PC.又PC⊂平面PAO，D1Q⊄平面PAO，∴D1Q∥平面PAO.又D1Q∩BD1＝D1，∴平面D1BQ∥平面PAC.B级 素养提升一、选择题1．已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，则a与b( B )A．相交 B．平行C．异面 D．共面或异面[解析] ∵直线a∥α，a∥β，∴在平面α、β中必分别有一直线平行于a，不妨设为m、n，∴a∥m，a∥n，∴m∥n.又α、β相交，m在平面α内，n在平面β内，∴m∥β，∴m∥b，∴a∥b.故选B．2．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( A )A．BF∥平面ACGD B．CF∥平面ABEDC．BC∥FG D．平面ABED∥平面CGF[解析] 取DG的中点为M，连接AM、FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形∴DE綊FM.
∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A．3．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C( B )A．不共面B．不论A、B如何移动，都共面C．当且仅当A、B分别在两直线上移动时时才共面D．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面[解析] 如图，不论点A、B如何移动，点C都共面，且所在平面与平面α、平面β平行．4．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是( D )A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交[解析] 如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．二、填空题5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是__平行四边形__.[解析] ∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB
∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为__①②④__.①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.[解析] ∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系．故填①②④.C级 能力拔高1．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是菱形，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.[解析] 解法一：如图(1)，取OB的中点G，连接GN、GM.∵M为OA的中点，∴MG∥AB.∵AB∥CD，∴MG∥CD.∵MG⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，∴MG∥平面OCD.又∵G、N分别为OB、BC的中点，∴GN∥OC.∵GN⊄平面OCD，OC⊂平面OCD，∴GN∥平面OCD.又∵MG⊂平面MNG，GN⊂平面MNG，MG∩GN＝G，
∴平面MNG∥平面OCD.∵MN⊂平面MNG，∴MN∥平面OCD.解法二：如图(2)，取OD的中点P，连接MP、CP.∵M为OA的中点，∴MP綊AD.∵N为BC的中点，∴CN綊AD，∴MP綊CN，∴四边形MNCP为平行四边形，∴MN∥PC.又∵MN⊄平面OCD，PC⊂平面OCD，∴MN∥平面OCD.2．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.[解析] 因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D.又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.
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