资料简介
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系选题明细表知识点、方法题号空间中直线之间的位置关系1,3,9,10平行公理与等角定理2,5,6,8异面直线所成的角4,7,11,12基础巩固1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( D )(A)异面(B)相交(C)不相交(D)不平行解析:和两条异面直线都相交的两条直线可能相交,也可能异面,但一定不平行.若平行,则确定一个平面,两异面直线也在这个面内.2.已知空间两个角α,β,α与β的两边对应平行,且α=60°,则β等于( D )(A)60°(B)120°(C)30°(D)60°或120°解析:由等角定理可知,β与α相等或互补,故β=60°或120°.3.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则( D )(A)a∥c(B)a,c是异面直线(C)a,c相交(D)a,c平行或相交或异面解析:例如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取AB,CD所在直线分别为a,c,B1C1所在直线为b,满足条件要求,此时a∥c;又取AB,BC所在直线分别为a,c,DD1所在直线为b,也满足题设要求,此时a与c相交;又取AB,CC1所在直线分别为a,c,A1D1所在直线为b,则此时,a与c异面.故选D.4.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( C )
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:连接BD,B1D1,D1C知△D1B1C是等边三角形,所以D1B1与B1C所成角为60°,故B1C与EF所成角也是60°.5.三棱锥的对角线互相垂直相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是( D )(A)梯形(B)矩形(C)平行四边形(D)正方形解析:如图所示,因为BD⊥AC,且BD=AC,又因为E,F,G,H分别为对应边的中点,所以FGEHBD,HGEFAC.所以FG⊥HG,且FG=HG.所以四边形EFGH为正方形.6.若AB∥A′B′,AC∥A′C′,有下列结论:①∠BAC=∠B′A′C′;②∠ABC+∠A′B′C′=180°;③∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°.则一定成立的是 (填序号). 解析:因为AB∥A′B′,AC∥A′C′,所以∠BAC=∠B′A′C′或∠BAC+∠B′A′C′=180°.答案:③7.空间四边形ABCD中,AB=CD,且异面直线AB与CD所成的角为40°
,E,F分别为BC和AD的中点,则异面直线EF和AB所成角的大小是 . 解析:取AC的中点G,连接GE与GF,AB与CD(异面直线)所成角为40°,因为EG∥AB,FG∥CD,所以∠EGF=40°或∠EGF=140°,而AB=CD,则GE=GF,所以∠GEF=70°或∠GEF=20°.所以EF与AB所成的角是70°或20°.答案:70°或20°8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA1D.证明:如图,连接CB1,CD1,因为CDA1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1D∥B1C.因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,所以MN∥B1C,所以MN∥A1D.因为BCA1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MP∥CD1,
所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.能力提升9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,C1D的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( A )(A)相交(B)异面(C)平行(D)垂直解析:如图所示,连接BD1,CD1,CD1与C1D交于点F,由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形,在平行四边形A1BCD1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,所以EF∥BD1,且A1B,EF共面,所以直线A1B与直线EF相交,故选A.10.(2018·清远市高一期末)一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确的是 (填序号). 解析:把正方体平面展开图还原为原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.答案:①③11.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.解:(1)由已知可求得,正方形ABCD的面积S=4,所以,四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.(2)连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE,则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角),由已知,可得DE=,EM=,MD=,因为()2+()2=()2,所以△DEM为直角三角形,所以tan∠EMD===.探究创新12.已知四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点.若BD,AC所成的角为60°,且BD=AC=1.求EF的长度.解:如图,取BC中点O,连接OE,OF,因为OE∥AC,OF∥BD,
所以∠EOF即为AC与BD所成的角或其补角.而AC,BD所成的角为60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时,EF=OE=OF=;当∠EOF=120°时,取EF中点M,则OM⊥EF,EF=2EM=2OE·cos30°=2×=.
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